รูปหลายเหลี่ยม

ในทางเรขาคณิต รูปหลายเหลี่ยม (อังกฤษ: polygon) ตามความหมายดั้งเดิม หมายถึงรูปร่างอย่างหนึ่งที่เป็นรูปปิดหรือรูปครบวงจรบนระนาบ ซึ่งประกอบขึ้นจากลำดับของส่วนของเส้นตรงที่มีจำนวนจำกัด ส่วนของเส้นตรงเหล่านั้นเรียกว่า ขอบ หรือ ด้าน และจุดที่ขอบสองข้างบรรจบกันเรียกว่า จุดยอด หรือ เหลี่ยม (corner) ภายในรูปหลายเหลี่ยมบางครั้งก็เรียกว่า เนื้อที่ (body) รูปหลายเหลี่ยมเป็นวัตถุในสองมิติ ซึ่งเป็นตัวอย่างหนึ่งของพอลิโทป (polytope) ที่อยู่ใน n มิติ

ด้านสองด้านที่บรรจบกันเป็นเหลี่ยม เป็นสิ่งที่จำเป็นสำหรับการเกิดมุมที่ไม่เป็นมุมตรง (180°) ถ้าไม่เช่นนั้นแล้ว ส่วนของเส้นตรงทั้งสองจะถูกพิจารณาว่าเป็นด้านเดียวกันเชกเช่นวงกลม มีหลายเหลี่ยมไม่สิ้นสุดตามจำนวนองศา

ความคิดทางเรขาคณิตพื้นฐานได้ถูกดัดแปลงไปในหลากหลายทาง เพื่อที่จะทำให้เข้ากับจุดประสงค์เฉพาะ ตัวอย่างเช่นในสาขาวิชาคอมพิวเตอร์กราฟิกส์ คำว่า รูปหลายเหลี่ยม ถูกนำไปใช้และมีการเปลี่ยนแปลงความหมายไปโดยเล็กน้อย ซึ่งเกี่ยวข้องกับวิธีการบันทึกและจัดการรูปร่างภายในคอมพิวเตอร์มากขึ้น

โดยหลักแล้วรูปหลายเหลี่ยมสามารถจัดแบ่งได้โดยจำนวนด้านที่มี ดูได้จากการตั้งชื่อรูปหลายเหลี่ยมด้านล่าง

รูปหลายเหลี่ยมอาจแบ่งได้ตามองศาของภาวะนูนเว้า

• รูปหลายเหลี่ยมนูน (convex) เส้นตรงที่ลากผ่านรูปหลายเหลี่ยมชนิดนี้ (โดยไม่สัมผัสกับขอบหรือจุดยอด) จะตัดผ่านเส้นรอบรูปแค่สองครั้ง
• รูปหลายเหลี่ยมไม่นูน (non-convex) เส้นตรงที่ลากผ่านรูปหลายเหลี่ยมชนิดนี้ จะผ่านเส้นรอบรูปมากกว่าสองครั้ง
• รูปหลายเหลี่ยมเชิงเดียว (simple) เส้นรอบรูปของรูปหลายเหลี่ยมชนิดนี้ จะไม่เดินทางตัดกันเอง รูปหลายเหลี่ยมนูนทุกรูปเป็นรูปหลายเหลี่ยมเชิงเดียว
• รูปหลายเหลี่ยมเว้า (concave) เป็นทั้งรูปหลายเหลี่ยมไม่นูนและเป็นรูปหลายเหลี่ยมเชิงเดียว
• รูปหลายเหลี่ยมคล้ายดาว (star-shaped) เนื้อที่ทั้งหมดสามารถมองเห็นได้จากจุดภายในจุดเดียว รูปนี้จะต้องเป็นรูปหลายเหลี่ยมเชิงเดียว อาจเป็นได้ทั้งรูปหลายเหลี่ยมนูนหรือเว้า
• รูปหลายเหลี่ยมตัดตัวเอง (self-intersecting) เส้นรอบรูปของรูปหลายเหลี่ยมชนิดนี้ จะเดินทางตัดกันเอง Branko Grünbaum เรียกรูปนี้ว่า คอปติก (coptic)^[1] ถึงแม้ว่าจะไม่ค่อยมีการใช้ชื่อนี้กันอย่างกว้างขวางนัก และบางครั้งคำว่า เชิงซ้อน (complex) ก็ถูกใช้แทนความหมายที่ตรงข้ามกับ เชิงเดียว แต่ก็อาจก่อให้เกิดความสับสนกับแนวความคิดของ รูปหลายเหลี่ยมเชิงซ้อน ที่มีอยู่แล้วในระนาบฮิลเบิร์ตเชิงซ้อน ซึ่งประกอบด้วยจำนวนเชิงซ้อนสองมิติ
• รูปดาวหลายแฉก (star) เป็นรูปหลายเหลี่ยมตัดตัวเองด้วยวิธีการตัดอย่างสม่ำเสมอ

• รูปหลายเหลี่ยมมุมเท่า (equiangular) มุมทั้งหมดมีขนาดเท่ากัน
• รูปหลายเหลี่ยมวงกลมล้อม (cyclic) จุดยอดทั้งหมดเรียงตัวอยู่บนรูปวงกลมรูปเดียว
• isogonal หรือ vertex-transitive จุดยอดทั้งหมดเรียงตัวอยู่ภายในทางโคจรสมมาตร รูปนี้เป็นทั้งรูปหลายเหลี่ยมวงกลมล้อมและรูปหลายเหลี่ยมมุมเท่าด้วย
• รูปหลายเหลี่ยมด้านเท่า (equilateral) ด้านทั้งหมดมีขนาดเท่ากัน (รูปหลายเหลี่ยมที่มีตั้งแต่ห้าด้านขึ้นไป สามารถเป็นรูปหลายเหลี่ยมด้านเท่าได้ โดยไม่ต้องเป็นรูปหลายเหลี่ยมนูน)^[2]
• isotoxal หรือ edge-transitive ด้านทั้งหมดเรียงตัวอยู่ภายในทางโคจรสมมาตร รูปนี้เป็นรูปหลายเหลี่ยมด้านเท่าด้วย
• รูปหลายเหลี่ยมปรกติ (regular) เป็นทั้งรูปหลายเหลี่ยมวงกลมล้อมและรูปหลายเหลี่ยมด้านเท่า ส่วนรูปหลายเหลี่ยมปรกติที่ไม่นูน จะเรียกว่า รูปดาวหลายแฉกปรกติ (regular star polygon)

• รูปหลายเหลี่ยมเชิงเส้นตรง (rectilinear) ด้านสองด้านบรรจบกันเป็นมุมฉาก นั่นคือมุมภายในทุกมุมจะมีขนาดเป็น 90° หรือไม่ก็ 270°
• รูปหลายเหลี่ยมทางเดียว (monotone) กำหนดเส้นตรง L ขึ้นมาเส้นหนึ่ง ทุกเส้นตรงที่ตั้งฉากกับ L จะตัดกับเส้นรอบรูปของรูปหลายเหลี่ยมชนิดนี้ไม่เกินสองครั้ง

สมมติว่ารูปหลายเหลี่ยมที่กำลังจะกล่าวถึงต่อไปนี้ เป็นรูปในเรขาคณิตแบบยุคลิดโดยตลอด

รูปหลายเหลี่ยมใด ๆ ไม่ว่าจะปรกติหรือไม่ ตัดตัวเองหรือไม่ จะมีจำนวนเหลี่ยมเท่ากับจำนวนจุดยอด แต่ละเหลี่ยมก็มีมุมอยู่หลายมุม แต่มุมที่สำคัญที่สุดสองชนิดได้แก่

• มุมภายใน - ผลบวกของมุมภายในของรูปเชิงเดียว n เหลี่ยม จะรวมเท่ากับ (n − 2) π เรเดียน หรือ (n − 2) 180 องศา ที่เป็นเช่นนี้เพราะรูปเชิงเดียว n เหลี่ยมจะถูกพิจารณาว่าสร้างขึ้นจากรูปสามเหลี่ยมจำนวน (n − 2) รูป ซึ่งแต่ละรูปมีผลรวมของมุมภายใน π เรเดียน หรือ 180 องศา ขนาดของมุมภายในแต่ละมุมของรูป n เหลี่ยมปรกติที่เป็นรูปนูน จะมีขนาดเท่ากับ (n − 2) π / n เรเดียน หรือ (n − 2) 180 / n องศา มุมภายในของรูปดาวหลายแฉกปรกติมีการศึกษาเป็นครั้งแรกโดยปัวโซ (Poinsot) ในงานเขียนเรื่องเดียวกันกับที่เขาอธิบายทรงหลายหน้าดาวปรกติ
• มุมภายนอก - ลองจินตนาการว่ากำลังเดินอยู่รอบรูปเชิงเดียว n เหลี่ยมที่เขียนอยู่บนพื้น ปริมาณ "การเลี้ยว" ที่จุดยอดก็คือมุมภายนอกที่กวาดไป และเมื่อเดินครบรอบ ก็หมายความว่าได้เดินหมุนรอบตัวครบหนึ่งรอบ ดังนั้นผลรวมของมุมภายนอกจะต้องเป็น 360° แต่สำหรับการเดินรอบรูป n เหลี่ยมโดยทั่วไป ผลรวมของมุมภายนอกสามารถเป็นพหุคูณจำนวนเต็ม d ของ 360° เช่น 720° สำหรับรูปดาวห้าแฉก (pentagram) และ 0° สำหรับรูปวนคล้ายเลขแปด ซึ่ง d นี้เป็นความหนาแน่นหรือความเป็นแฉกของรูปหลายเหลี่ยม ดูเพิ่มที่ ทางโคจร (orbit)

มุมภายนอกเป็นมุมประกอบสองมุมฉาก (supplementary angles) ของมุมภายใน สิ่งนี้ก็ยังเป็นจริงถ้าหากมุมภายในมีขนาดมากกว่า 180° เพราะมุมภายนอกจะมีขนาดเป็นลบ นั่นคือ สมมติให้การเลี้ยวตามเข็มนาฬิกาเป็นบวก และอาจมีบางครั้งที่จะต้องเลี้ยวซ้ายแทนเลี้ยวขวา ซึ่งจะทำให้มุมของการเลี้ยวเป็นปริมาณติดลบ

พื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมคือเมเชอร์ในบริเวณสองมิติที่ปิดล้อมโดยเส้นขอบของรูปหลายเหลี่ยม สำหรับรูปหลายเหลี่ยมเชิงเดียว (ที่ไม่ตัดตัวเอง) ที่มีจุดยอด n จุด พื้นที่และเซนทรอยด์ของรูปนี้สามารถหาได้จาก ^[3]

${\displaystyle A={\frac {1}{2}}\sum _{i=0}^{n-1}(x_{i}y_{i+1}-x_{i+1}y_{i})}$

${\displaystyle C_{x}={\frac {1}{6A}}\sum _{i=0}^{n-1}(x_{i}+x_{i+1})(x_{i}y_{i+1}-x_{i+1}y_{i})}$

${\displaystyle C_{y}={\frac {1}{6A}}\sum _{i=0}^{n-1}(y_{i}+y_{i+1})(x_{i}y_{i+1}-x_{i+1}y_{i})}$

เพื่อที่จะทำให้รูปหลายเหลี่ยมเป็นรูปปิด จุดยอดแรกและจุดยอดสุดท้ายจะต้องเป็นจุดเดียวกัน นั่นคือ ${\displaystyle x_{n},y_{n}=x_{0},y_{0}}$ จุดยอดจะต้องเรียงลำดับกันไปตามเข็มหรือทวนเข็มนาฬิกา ถ้าหากเรียงตามเข็มนาฬิกา พื้นที่จะเป็นจำนวนลบแต่ก็แก้ไขได้ด้วยค่าสัมบูรณ์ สูตรนี้มักจะเรียกกันว่า Surveyor's Formula

สูตรดังกล่าวได้อธิบายไว้โดยไมชเตอร์ (Meister) เมื่อ พ.ศ. 2312 และโดยเกาส์ (Guass) เมื่อ พ.ศ. 2338 ซึ่งสามารถพิสูจน์ได้โดยการแบ่งรูปหลายเหลี่ยมออกเป็นรูปสามเหลี่ยมหลาย ๆ รูป หรืออาจจะมองได้ว่าเป็นกรณีพิเศษของทฤษฎีบทของกรีน (Green's theorem)

เราสามารถคำนวณพื้นที่ A ของรูปหลายเหลี่ยมเชิงเดียว ถ้าเราทราบความยาวของด้าน ${\displaystyle a_{1},a_{2},...,a_{n}}$ และมุมภายนอก ${\displaystyle \theta _{1},\theta _{2},...,\theta _{n}}$ โดยใช้สูตรดังนี้ ซึ่งอธิบายไว้โดย Lopshits เมื่อ พ.ศ. 2506 ^[4]

${\displaystyle {\begin{aligned}A={\frac {1}{2}}(a_{1}[a_{2}\sin(\theta _{1})+a_{3}\sin(\theta _{1}+\theta _{2})+\cdots +a_{n-1}\sin(\theta _{1}+\theta _{2}+\cdots +\theta _{n-2})]\\{}+a_{2}[a_{3}\sin(\theta _{2})+a_{4}\sin(\theta _{2}+\theta _{3})+\cdots +a_{n-1}\sin(\theta _{2}+\cdots +\theta _{n-2})]\\{}+\cdots +a_{n-2}[a_{n-1}\sin(\theta _{n-2})])\end{aligned}}}$

ถ้าหากรูปหลายเหลี่ยมถูกวาดขึ้นบนกริดหรือช่องตารางที่มีระยะเท่ากัน ซึ่งในกรณีดังกล่าวจุดยอดจะอยู่บนจุดตัดของกริด ทฤษฎีบทของพิก (Pick's theorem) ได้ให้สูตรอย่างง่ายสำหรับคำนวณพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยม โดยคิดจากจำนวนจุดตัดของกริดที่อยู่ภายในและบนเส้นขอบของรูป

ถ้ารูปหลายเหลี่ยมเชิงเดียวสองรูปมีพื้นที่เท่ากันแล้ว รูปที่หนึ่งจะสามารถตัดแบ่งออกเป็นรูปหลายเหลี่ยมชิ้นเล็ก ๆ ซึ่งสามารถประกอบใหม่ให้เป็นรูปที่สองได้ ดังที่กล่าวไว้ในทฤษฎีบทโบลไย-แกร์วีน (Bolyai-Gerwien theorem)

พื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมตัดตัวเองสามารถนิยามด้วยสองแนวทางที่แตกต่างกัน ซึ่งแต่ละแนวทางก็ให้ผลลัพธ์ต่างกันด้วย

• เมื่อใช้วิธีของรูปหลายเหลี่ยมเชิงเดียว เราจะพบว่ามีบริเวณบางส่วนภายในรูปหลายเหลี่ยมที่อาจมีการทับซ้อนมากกว่าหนึ่งครั้ง พื้นที่ของบริเวณนี้จะเพิ่มขึ้นเป็นเท่าตัวตามการทับซ้อน จำนวนการทับซ้อนนี้เรียกว่า ความหนาแน่น ของบริเวณ ตัวอย่างเช่น บริเวณตรงกลางของรูปดาวห้าแฉกเป็นรูปห้าเหลี่ยมและมีความหนาแน่นเท่ากับ 2 หรือบริเวณรูปสามเหลี่ยมสองรูปที่เกิดจากรูปสี่เหลี่ยมไขว้ (คล้ายเลข 8) จะมีความหนาแน่นเป็นเครื่องหมายตรงข้ามกัน ซึ่งอาจทำให้พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมโดยรวมทั้งหมดเป็นศูนย์ก็ได้
• เมื่อพิจารณาบริเวณที่ถูกปิดเป็นเซตของจุด เราสามารถหาพื้นที่ของบริเวณเหล่านี้ได้ ซึ่งจะสมนัยกับพื้นที่บนระนาบที่ถูกล้อมรอบโดยรูปหลายเหลี่ยม หรือสมนัยกับพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมเชิงเดียวที่มีขอบเขตเดียวกันกับรูปหลายเหลี่ยมตัดตัวเอง ในกรณีเช่นนี้ รูปสี่เหลี่ยมไขว้ก็เป็นเพียงแค่รูปสามเหลี่ยมธรรมดาสองรูป

รูป n เหลี่ยมมีองศาเสรี (degree of freedom) เท่ากับ 2n ซึ่งรวมทั้ง 2 สำหรับตำแหน่ง 1 สำหรับแนวการหมุน และ 1 สำหรับขนาดทุกขนาด ดังนั้นรูปร่างทั่วไปจะมีองศาเสรีเท่ากับ 2n − 4 ในกรณีของสมมาตรการสะท้อน จำนวนหลังจะลดลงเหลือ n − 2

กำหนดให้ k ≥ 2 สำหรับรูป nk เหลี่ยมที่มีสมมาตรแบบหมุน k ทบ (${\displaystyle C_{k}}$) รูปนี้จะมีองศาเสรีเท่ากับ 2n − 2 ถ้ารวมสมมาตรการสะท้อน (${\displaystyle D_{k}}$) เข้าไปอีก จะเท่ากับ n − 1

โดยความรู้สึกทั่วไป รูปหลายเหลี่ยมหมายถึงลำดับหรือวงจรที่สลับไปมาโดยไม่สิ้นสุดระหว่างส่วนของเส้นตรง (ด้าน) กับมุม (เหลี่ยม) เหตุผลที่ว่ารูปหลายเหลี่ยมไม่สิ้นสุดก็เพราะลำดับโครงสร้างนั้นวนรอบกลับมาหาจุดเดิมตลอดเวลา ในขณะที่รูปอนันต์เหลี่ยม (apeirogon) ไม่มีขอบเขต เพราะลำดับโครงสร้างของมันเดินทางต่อไปเรื่อย ๆ โดยไม่มีจุดปลาย การทำความเข้าใจในคณิตศาสตร์สมัยใหม่ ได้อธิบายลำดับโครงสร้างนี้ว่าเป็นรูปหลายเหลี่ยมแบบ "นามธรรม" ซึ่งเป็นเซตอันดับบางส่วนของสมาชิก เนื้อที่ภายในของรูปหลายเหลี่ยมก็คือสมาชิกอันหนึ่ง พอลิโทปว่าง (null polytope) ก็เป็นสมาชิกอันหนึ่งเช่นเดียวกัน (ด้วยเหตุผลทางเทคนิค)

รูปหลายเหลี่ยมทางเรขาคณิตจึงทำให้เข้าใจว่า เป็นการทำรูปหลายเหลี่ยมนามธรรมให้เป็น "รูปธรรม" ซึ่งสิ่งนี้เกี่ยวข้องกับการจับคู่ของสมาชิกจากนามธรรมไปยังเรขาคณิต รูปหลายเหลี่ยมเช่นนี้จึงไม่จำเป็นว่าจะต้องวางอยู่บนระนาบ หรือมีด้านที่ตรง หรือเป็นพื้นที่ที่ถูกล้อมรอบ และสมาชิกที่ต่างกันก็อาจซ้อนเกยกันหรือแม้แต่ทับกันจนสนิท ตัวอย่างเช่น รูปหลายเหลี่ยมที่ถูกวาดขึ้นบนพื้นผิวของทรงกลม ซึ่งด้านของมันเป็นส่วนโค้งของเส้นวงกลมใหญ่ ดังนั้นเมื่อเราพูดถึงเรื่องรูปหลายเหลี่ยม เราจะต้องอธิบายอย่างระมัดระวังว่าเรากำลังพูดถึงชนิดใดอยู่

รูปสองเหลี่ยม เป็นรูปหลายเหลี่ยมปิดที่มีสองด้านและสองมุม เราสามารถกำหนดจุดสองจุดที่อยู่ตรงข้ามกันบนทรงกลม (คล้ายขั้วเหนือกับขั้วใต้) เชื่อมถึงกันด้วยครึ่งหนึ่งของเส้นวงกลมใหญ่ และเพิ่มอีกเส้นหนึ่งด้วยมุมที่ต่างกันก็จะได้รูปสองเหลี่ยม การเติมเต็มพื้นผิวทรงกลมด้วยรูปสองเหลี่ยมจะทำให้เกิดทรงหลายหน้าที่เรียกว่า hosohedron แต่ถ้าหากเดินทางรอบเส้นวงกลมใหญ่จนครบรอบ ซึ่งจะเหลือจุดยอดเพียงจุดเดียวและมีด้านเดียว กลายเป็นรูปหนึ่งเหลี่ยม ถึงแม้ว่าผู้แต่งตำราหลายท่านจะไม่ถือว่ากรณีเช่นนี้เป็นรูปหลายเหลี่ยมที่สมบูรณ์

การวางนัยแบบอื่นของรูปหลายเหลี่ยมเหล่านี้สามารถเกิดขึ้นได้บนพื้นผิวอื่น ๆ แต่ในระนาบแบบยุคลิดที่ราบแบน เนื้อที่ของรูปหลายเหลี่ยมไม่สามารถเกิดขึ้นเป็นรูปธรรมได้โดยสามัญสำนึก เราจึงเรียกกรณีเช่นนี้ว่าเป็นภาวะลดรูป (degenerate)

เนื่องจากแนวความคิดที่ใช้ในการวางนัยทั่วไปของรูปหลายเหลี่ยมมีหลากหลายทาง ตัวอย่างต่อไปนี้จะเป็นกรณีลดรูป (หรือกรณีพิเศษ) บางส่วนของรูปหลายเหลี่ยม

• รูปสองเหลี่ยม มีมุมภายใน 0° บนระนาบแบบยุคลิด ส่วนบนพื้นผิวทรงกลมก็ดังที่กล่าวไว้แล้วด้านบน
• มุมภายใน 180° บนระนาบแบบยุคลิดคือรูปอนันต์เหลี่ยม ส่วนบนพื้นผิวทรงกลมคือทรงสองหน้า
• รูปหลายเหลี่ยมเบ้ (skew) คือรูปหลายเหลี่ยมที่ไม่วางตัวอยู่ในระนาบแบน แต่ซิกแซกในปริภูมิสามมิติหรือสูงกว่า รูปหลายเหลี่ยมเพทรี (Petrie polygon) ของทรงหลายหน้าปรกติก็เป็นตัวอย่างดั้งเดิมอย่างหนึ่ง
• รูปหลายเหลี่ยมบนทรงกลม (spherical) คือรูปหลายเหลี่ยมที่มีด้านและมุมอยู่บนพื้นผิวทรงกลม
• รูปอนันต์เหลี่ยม ลำดับของด้านและมุมเป็นอนันต์ ซึ่งไม่เป็นรูปปิด แต่ก็ไม่มีจุดปลายเพราะว่ามันขยายตัวไปถึงอนันต์
• รูปหลายเหลี่ยมเชิงซ้อน (complex) เป็นรูปร่างที่คล้ายกับรูปหลายเหลี่ยมธรรมดา แต่วางตัวอยู่บนระนาบฮิลเบิร์ตเชิงซ้อน

ปกติแล้วในภาษาไทย รูปหลายเหลี่ยมจะมีกี่ด้านกี่มุม ก็เรียกชื่อไปตามนั้นโดยตรงเช่น รูปที่มีห้าด้านห้ามุม ก็เรียกรูปห้าเหลี่ยม แต่ในภาษาอังกฤษซึ่งเป็นภาษาสากลจะมีหลักการตั้งชื่อที่ต่างออกไป คำว่า polygon ในภาษาอังกฤษมีที่มาภาษากรีก แล้วถ่ายทอดไปยังภาษาละตินดังนี้

• πολύγωνον (polygōnon/polugōnon) → polygōnum → polygon

ซึ่งแปลว่า หลายมุม ดังนั้นการตั้งชื่อจะใช้การประสมคำอุปสรรคเชิงตัวเลขในภาษากรีกเป็นหลัก แล้วตามด้วยคำปัจจัย "-gon" เช่น pentagon หมายถึงรูปห้าเหลี่ยม แต่สำหรับจำนวนขนาดใหญ่ นักคณิตศาสตร์ก็มักเขียนเป็นตัวเลขแทนเช่น 257-gon และในรูปของพจน์ทั่วไปก็เขียนเป็น n-gon ซึ่งมีประโยชน์ในการอ้างถึงตัวแปร n ที่อยู่ในสูตร

รูปหลายเหลี่ยมพิเศษบางรูปมีชื่อของมันเอง ตัวอย่างเช่น รูปห้าเหลี่ยมดาวปรกติ (regular star pentagon) มันก็คือ รูปดาวห้าแฉก (pentagram) เป็นต้น

ชื่อรูปหลายเหลี่ยม

ชื่อ	ด้าน	หมายเหตุ
henagon (หรือ monogon)	1	ในระนาบแบบยุคลิด ลดรูปเหลือเส้นโค้งปิดที่มี 1 จุดยอด
digon	2	ในระนาบแบบยุคลิด ลดรูปเหลือเส้นโค้งปิดที่มี 2 จุดยอด
triangle (หรือ trigon)	3	รูปหลายเหลี่ยมแรกที่มีเนื้อที่ในระนาบแบบยุคลิด
quadrilateral (หรือ quadrangle หรือ tetragon)	4	รูปหลายเหลี่ยมแรกที่สามารถตัดตัวเองได้
pentagon	5	รูปหลายเหลี่ยมแรกที่สามารถทำเป็นรูปดาวได้
hexagon	6
heptagon	7	หลีกเลี่ยง septagon เพราะ sept- เป็นภาษาละติน
octagon	8
enneagon (หรือ nonagon)	9
decagon	10
hendecagon	11	หลีกเลี่ยง undecagon เพราะ un- เป็นภาษาละติน
dodecagon	12	หลีกเลี่ยง duodecagon เพราะ duo- เป็นภาษาละติน
tridecagon (หรือ triskaidecagon)	13
tetradecagon (หรือ tetrakaidecagon)	14
pentadecagon (หรือ quindecagon หรือ pentakaidecagon)	15
hexadecagon (หรือ hexakaidecagon)	16
heptadecagon (หรือ heptakaidecagon)	17
octadecagon (หรือ octakaidecagon)	18
enneadecagon (หรือ enneakaidecagon หรือ nonadecagon)	19
icosagon	20
ไม่มีชื่อในภาษาอังกฤษ	100	มุมภายในของรูปปรกติเท่ากับ 176.4° hectogon เป็นชื่อในภาษากรีก ในขณะที่ centagon เป็นคำประสมระหว่างละตินกับกรีก ซึ่งก็ไม่มีชื่อไหนที่นิยมใช้
chiliagon	1,000	มุมภายในของรูปปรกติเท่ากับ 179.64° René Descartes used the chiliagon and myriagon (see below) as examples in his Sixth meditation to demonstrate a distinction which he made between pure intellection and imagination. He cannot imagine all thousand sides [of the chiliagon], as he can for a triangle. However, he clearly understands what a chiliagon is, just as he understands what a triangle is, and he is able to distinguish it from a myriagon. Thus, he claims, the intellect is not dependent on imagination.[5]
myriagon	10,000	มุมภายในของรูปปรกติเท่ากับ 179.964° ดูหมายเหตุข้างบน
megagon [6]	1,000,000	มุมภายในของรูปปรกติเท่ากับ 179.99964°

สำหรับการตั้งชื่อรูปหลายเหลี่ยมที่มีด้านอยู่ระหว่าง 20-100 ด้าน จะใช้การประสมของคำอุปสรรคดังนี้

หลักสิบ		และ	หลักหน่วย		คำปัจจัย
		-kai-	1	-hena-	-gon
20	icosi-		2	-di-
30	triaconta-		3	-tri-
40	tetraconta-		4	-tetra-
50	pentaconta-		5	-penta-
60	hexaconta-		6	-hexa-
70	heptaconta-		7	-hepta-
80	octaconta-		8	-octa-
90	enneaconta-		9	-ennea-

อย่างไรก็ตาม คำว่า "-kai-" ก็ไม่ได้มีการใช้ทุกครั้ง (ดังเช่นในตารางข้างบน) ตัวอย่างเช่น รูป 42 เหลี่ยม เรียกว่า tetracontakaidigon หรือ tetracontadigon ในขณะที่รูป 50 เหลี่ยม เรียกว่า pentacontagon

รูปหลายเหลี่ยมเป็นที่รู้จักมาตั้งแต่สมัยโบราณ ชาวกรีกโบราณรู้จักรูปหลายเหลี่ยมปรกติซึ่งอธิบายไว้โดยนักคณิตศาสตร์หลายท่าน รูปดาวห้าแฉก ซึ่งเป็นรูปหลายเหลี่ยมปรกติไม่นูน (รูปดาวหลายแฉก) ปรากฏเป็นครั้งแรกบนแจกันของ Aristophonus ในเมือง Caere ซึ่งระบุว่าสร้างขึ้นในศตวรรษที่ 7 ก่อนคริสตกาล สำหรับรูปหลายเหลี่ยมไม่นูน ยังไม่มีการศึกษาอย่างเป็นระบบจนกระทั่งคริสต์ศตวรรษที่ 14 โดย Thomas Bredwardine

ในปี ค.ศ. 1952 Shephard ได้ขยายแนวความคิดของรูปหลายเหลี่ยมไปบนระนาบจำนวนเชิงซ้อน ที่ซึ่งมิติส่วนจริงแต่ละส่วนประกอบกับมิติส่วนจินตภาพ เพื่อสร้างรูปหลายเหลี่ยมเชิงซ้อน

ส่วนนี้รอเพิ่มเติมข้อมูล คุณสามารถช่วยเพิ่มข้อมูลส่วนนี้ได้

รูปหลายเหลี่ยมจำนวนมากสามารถพบได้ในธรรมชาติ ในโลกของธรณีวิทยา ผลึกของแร่ธาตุต่าง ๆ จะมีผิวหน้าหรือหน้าตัดที่เป็นรูปหลายเหลี่ยม โครงสร้างผลึกแบบ quasicrystal ก็สามารถมีหน้าเป็นรูปห้าเหลี่ยมปรกติได้ หรืออีกตัวอย่างหนึ่งคือ เมื่อหินหลอมเหลวเย็นตัวลงในพื้นที่ที่ถูกจำกัดอย่างแน่นหนา จะกลายเป็นหินบะซอลต์แท่งหกเหลี่ยม ดังเช่นที่ Giant's Causeway ในไอร์แลนด์ หรือที่ Devil's Postpile ที่รัฐแคลิฟอร์เนีย

รูปหลายเหลี่ยมก็พบได้ในอาณาจักรสัตว์ เช่นรังผึ้งแต่ละช่องเป็นรูปหกเหลี่ยม ใช้สำหรับการเก็บน้ำผึ้งและเกสรดอกไม้ และเป็นสถานที่เจริญเติบโตของตัวอ่อน นอกจากนี้ก็ยังมีสัตว์ที่มีลักษณะใกล้เคียงกับรูปหลายเหลี่ยมปรกติ หรืออย่างน้อยก็มีความสมมาตรเหมือน ๆ กัน สัตว์ในไฟลัมเอไคโนดอร์มาทา เช่นดาวทะเลจะมีลักษณะเป็นรูปห้าเหลี่ยมหรือรูปดาวห้าแฉก หรือพบได้ยากกว่าคือรูปเจ็ดเหลี่ยม ส่วนพวกเม่นทะเลบางครั้งก็ปรากฏความสมมาตรให้เห็น ถึงแม้ว่าสัตว์ในไฟลัมเอไคโนดอร์มาทาไม่ได้มีพฤติกรรมที่สมมาตรตามรัศมีเหมือนพวกแมงกะพรุน

ความสมมาตรตามรัศมี (หรือความสมมาตรแบบอื่น) ก็สามารถสังเกตได้จากอาณาจักรพืช โดยเฉพาะดอกไม้ เมล็ด และผลไม้ รูปแบบทั่วไปมักจะสมมาตรแบบห้าเหลี่ยม ซึ่งเห็นได้ชัดจากมะเฟือง ผลไม้ที่มีรสเปรี้ยวน้อยในเอเชียตะวันออกเฉียงใต้ เมื่อผ่าตามขวางจะได้รูปดาวห้าแฉก

ชาวคณิตศาสตร์สมัยก่อนที่ทำการคำนวณโดยใช้กฎแรงโน้มถ่วงของนิวตัน ได้ค้นพบว่าถ้าหากเทหวัตถุสองชนิด (เช่นดวงอาทิตย์กับโลก) โคจรรอบกันแล้ว จะมีจุดจุดหนึ่งที่แน่นอนในอวกาศ ที่ซึ่งเทหวัตถุขนาดเล็ก (อย่างเช่นดาวเคราะห์น้อยหรือสถานีอวกาศ) สามารถคงอยู่ในแนวโคจรที่เสถียร จุดนี้เรียกว่าจุดลากรานจ์ (Lagrangian points) ระหว่างดวงอาทิตย์กับโลกนั้นมีจุดลากรานจ์จำนวน 5 จุด ซึ่งมี 2 จุดในแนวโคจรของโลกที่ทำมุม 60 องศากับดวงอาทิตย์และโลกพอดี นั่นคือเมื่อเชื่อมจุดศูนย์กลางของดวงอาทิตย์ โลก และจุดหนึ่งในสองจุดนั้น จะได้เป็นรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า นักดาราศาสตร์ได้ค้นพบแล้วว่ามีดาวเคราะห์น้อยจำนวนหนึ่งอยู่ที่จุดเหล่านี้ แต่การทำให้สถานีอวกาศรักษาตำแหน่งอยู่ที่จุดลากรานจ์ในทางปฏิบัติยังเป็นข้อถกเถียงกันอยู่ ด้วยเหตุผลที่ว่า ถึงแม้ว่ามันจะไม่จำเป็นที่จะต้องปรับแต่งเส้นทาง มันก็อาจจะชนเข้ากับดาวเคราะห์น้อยที่มีอยู่ ณ ตำแหน่งนั้นโดยบ่อยครั้ง แต่ปัจจุบันนี้ก็มีดาวเทียมและเครื่องสังเกตการณ์อวกาศโคจรอยู่บนจุดลากรานจ์อื่นที่เสถียรน้อยกว่า

• Coxeter, H.S.M.; Regular Polytopes, (Methuen and Co., 1948).
• Cromwell, P.;Polyhedra, CUP hbk (1997), pbk. (1999).
• Grünbaum, B.; Are your polyhedra the same as my polyhedra? Discrete and comput. geom: the Goodman-Pollack festschrift, ed. Aronov et al. Springer (2003) pp. 461-488. (pdf เก็บถาวร 2016-08-03 ที่ เวย์แบ็กแมชชีน)