เซตกำลัง

ลิงก์ข้ามภาษาในบทความนี้ มีไว้ให้ผู้อ่านและผู้ร่วมแก้ไขบทความศึกษาเพิ่มเติมโดยสะดวก เนื่องจากวิกิพีเดียภาษาไทยยังไม่มีบทความดังกล่าว กระนั้น ควรรีบสร้างเป็นบทความโดยเร็วที่สุด

ในวิชาคณิตศาสตร์ เซตกำลัง หรือ เพาเวอร์เซต (อังกฤษ: power set) ของเซต S ใดๆ เขียนแสดงด้วยสัญลักษณ์ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(S)}$, P(S), ℙ(S), ℘(S) หรือ 2^S เป็นเซตของเซตย่อยทั้งหมดของ S รวมทั้งเซตว่าง และเซต S เอง ตามหลักทฤษฎีเซตเชิงสัจพจน์ (เช่นสัจพจน์ ZFC) สัจพจน์แห่งเซตกำลังรองรับการมีอยู่ของเซตกำลังสำหรับเซตใดๆ ^[1]

เซตย่อยใดๆ ของ${\displaystyle {\mathcal {P}}(S)}$ เรียกว่า ครอบครัวของเซต บน S

ถ้า S เป็นเซต {x, y, z} แล้วเซตย่อยของ S ได้แก่:

• {} (อาจเขียนแทนด้วย ${\displaystyle \varnothing }$ เรียกเซตว่าง)
• {x}
• {y}
• {z}
• {x, y}
• {x, z}
• {y, z}
• {x, y, z}

ดังนั้นเซตกำลังของ S คือ {{}, {x}, {y}, {z}, {x, y}, {x, z}, {y, z}, {x, y, z}} ^[2]

ถ้า ${\displaystyle S}$ เป็นเซตจำกัดที่มีสมาชิก ${\displaystyle |S|=n}$ ตัว แล้วจำนวนของเซตย่อยของ ${\displaystyle S}$ คือ ${\displaystyle |{\mathcal {P}}(S)|=2^{n}}$ ทำให้เกิดสัญกรณ์ ${\displaystyle 2^{S}}$ สามารถพิสูจน์ได้ดังนี้

เขียนเซตย่อยใดๆ ของ ${\displaystyle S}$ ในรูปแบบ ${\displaystyle \{\omega _{1},\omega _{2},\ldots ,\omega _{n}\}}$ ซึ่ง ${\displaystyle \omega _{i},1\leq i\leq n}$ มีค่า ${\displaystyle 0}$ หรือ ${\displaystyle 1}$ ถ้า ${\displaystyle \omega _{i}=1}$ สมาชิกตัวที่${\displaystyle i}$ ของ ${\displaystyle S}$ อยู่ในเซตย่อย มิฉะนั้นสมาชิกตัวที่${\displaystyle i}$ไม่อยู่ในเซตย่อย ดังนั้นจำนวนของเซตย่อยที่แตกต่างกันทั้งหมดที่สามารถสร้างโดยวิธีนี้คือ ${\displaystyle 2^{n}}$

การอ้างเหตุผลแนวทแยงของคันทอร์ แสดงว่าเซตกำลังของเซต (ทั้งเซตจำกัดและเซตอนันต์) มี ภาวะเชิงการนับ มากกว่าเซตนั้นๆ เสมอ (กล่าวคือเซตกำลังของเซตใดๆ ต้องใหญ่กว่าเซตนั้นๆ) โดยเฉพาะอย่างยิ่งทฤษฎีบทของคันทอร์แสดงว่าเซตกำลังของเซตอนันต์นับได้เป็นเซตอนันต์นับไม่ได้ ตัวอย่าง เช่น เซตกำลังของเซตของจำนวนธรรมชาติมีความสัมพันธ์หนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึงกับเซตของจำนวนจริง (ดูหน้า cardinality of the continuum)

เซตกำลังของเซต S และการดำเนินการหายูเนียน อินเตอร์เซกชัน และ ส่วนเติมเต็ม สามารถมองเป็นตัวอย่างต้นแบบของพีชคณิตแบบบูล ที่จริงแล้วยังสามารถแสดงว่าพีชคณิตแบบบูลขนาดจำกัดใดๆ เป็นสมสัณฐานกับพีชคณิตแบบบูลของเซตกำลังของเซตจำกัดบางเซต สำหรับพีชคณิตแบบบูลขนาดอนันต์ ข้อความนี้ไม่เป็นจริง แต่พีชคณิตแบบบูลขนาดอนันต์ทุกโครงสร้างสามารถแทนด้วยโครงสร้างพีชคณิตย่อย ของเซตกำลังของพีชคณิตแบบบูล (ดูหน้า Stone's representation theorem)

เซตกำลังของเซต S ก่อให้เกิด อาบีเลียนกรุป เมื่อพิจารณาด้วยการดำเนินการหาผลต่างสมมาตร (โดยมีเซตว่างเป็นสมาชิกเอกลักษณ์และแต่ละเซตเป็นตัวผกผันกับเซตนั้นๆ) เซตกำลังของเซต S ยังก่อให้เกิดโมนอยด์สลับที่ เมื่อพิจารณาด้วยการดำเนินการหาอินเตอร์เซกชัน การพิสูจน์กฎการแจกแจงสามารถแสดงว่าเซตกำลังกับการดำเนินการทั้งสองนี้สร้างริงแบบบูล

ในวิชาทฤษฎีเซต X^Y เป็นเซตของฟังก์ชันทั้งหมดจาก Y ไป X เพราะว่า "2" อาจนิยามเป็น {0,1} (ดูหน้า จำนวนธรรมชาติ) ดังนั้น 2^S (นั่นคือ {0,1}^S) เป็นเซตของฟังก์ชันทั้งหมดจาก S ไปยัง {0,1} เมื่อจำแนกฟังก์ชันตัวใดตัวหนึ่งใน 2^S กับบุพภาพที่สอดคล้องกันของฟังก์ชันนั้น จะเห็นว่ามีความสัมพันธ์หนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึงระหว่าง 2^S กับ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(S)}$ โดยแต่ละฟังก์ชันเป็นฟังก์ชันบ่งชี้ของเซตย่อยที่เป็นสมาชิกของ${\displaystyle {\mathcal {P}}(S)}$ กับสิ่งที่ฟังก์ชันบ่งชี้บ่งชี้ ฉะนั้น 2^S และ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(S)}$ ถือว่าเท่ากันทุกประการเชิงทฤษฎีเซตได้ (ดังนั้นจึงมีมูลเหตุสำหรับการเขียนแทนเซตกำลังด้วย 2^S สองประการ ได้แก่ การเขียนสับเซตแทนด้วยฟังก์ชันเป็นกรณีพิเศษของสัญกรณ์ X^Y และสมบัติของเซตกำลังข้างต้นว่า |2^S| = 2^|S|)

สัญกรณ์สามารถประยุกต์ใช้กับตัวอย่างข้างต้นที่ ${\displaystyle S=\{x,y,z\}}$ เพื่อให้เห็นสมสัณฐานกับจำนวนฐานสองตั้งแต่ 0 จนถึง 2ⁿ−1 โดย n เป็นจำนวนสมาชิกของเซต 1 ในตำแหน่งที่สอดคล้องกันกับตำแหน่งสมาชิกที่ปรากฏใน S บ่งชี้ถึงการมีสมาชิกตัวนั้นๆ ดังนั้น {x, y} = 110

สำหรับเซตกำลังทั้งหมดของ S จะได้

• { } = 000 (ฐานสอง) = 0 (ฐานสิบ)
• {x} = 100 = 4
• {y} = 010 = 2
• {z} = 001 = 1
• {x, y} = 110 = 6
• {x, z} = 101 = 5
• {y, z} = 011 = 3
• {x, y, z} = 111 = 7

เซตกำลังมีความสัมพันธ์กับทฤษฎีบททวินาม จำนวนของเซตที่มีสมาชิก ${\displaystyle k}$ ตัวในเซตกำลังของเซตที่มีสมาชิก ${\displaystyle n}$ ตัวจะเท่ากับการจัดหมู่ ${\displaystyle C(n,k)}$ เรียกอีกชื่อว่าสัมประสิทธิ์ทวินาม

ตัวอย่าง เซตกำลังของเซตขนาด 3 มี:

• เซตขนาด 0 ${\displaystyle C(3,0)=1}$ เซต
• เซตขนาด 1 ${\displaystyle C(3,1)=3}$ เซต
• เซตขนาด 2 ${\displaystyle C(3,2)=3}$ เซต
• เซตขนาด 3 ${\displaystyle C(3,3)=1}$ เซต

1. ↑ Devlin (1979) หน้า 50
2. ↑ Puntambekar (2007), หน้า 1-2

• Devlin, Keith J. (1979). Fundamentals of contemporary set theory. Universitext. Springer-Verlag. ISBN 0-387-90441-7. Zbl 0407.04003.
• Puntambekar, A.A. (2007). Theory Of Automata And Formal Languages. Technical Publications. ISBN 978-81-8431-193-8.