Sallai profesyonel kariyerine 2014 yılından 2017 yazına kadar oynadığı Puskás Akadémia'da başladı. Panathinaikos'a karşı 2014 Puskás Kupası grup maçında iki gol attı. İlk maçına 1 Ağustos 2014 tarihinde Pécs karşısında çıktı ve Macaristan ligindeki ilk golünü 14 Eylül 2014 tarihinde Groupama Aréna'da Ferencváros'a karşı attı.[1]
Palermo
Sallai, 4 Ağustos 2016 tarihinde İtalyan kulübü Palermo'ya sezonluk kiralık olarak katıldı ve 2016-17 sezonunun sonuna kadar 300.000$ kiralama bedeli ödedi.
Sallai, Serie A'daki ilk maçında 10 Eylül 2016 tarihinde Napoli karşısında 84 dakika sahada kaldı. Palermo için ilk resmi golünü 19 Mart 2017 tarihinde Udinese'ye karşı attı. Serie A'da 21 maça çıktı (on biri ilk on bir, onu yedek) ve bir gol attı.
APOEL
5 Ağustos 2017'de APOEL'in, Puskás'tan 2 milyon Avro civarında olduğu söylenen ve açıklanmayan bir transfer ücreti karşılığında Mayıs 2021 sonuna kadar dört yıllık bir sözleşme imzaladığı duyuruldu.
31 Ağustos 2018 tarihinde Sallai, Bundesliga kulübü SC Freiburg ile 4,5 milyon Avro olarak bildirilen bir ücret karşılığında dört yıllık bir anlaşma imzaladı.[2] 22 Eylül 2018'de, 2018-19 Bundesliga'nın 4. maç gününde Volkswagen Arena'da Wolfsburg'a karşı 3-1'lik galibiyette ilk maçında bir gol attı ve bir penaltı kazandı ve performansının ardından haftanın takımına seçildi.[3][4] Kasım 2018'in ortasından itibaren adductor problemi yaşadı ve sonraki beş ay boyunca oynayamadı. Fortuna Düsseldorf'a karşı 5 Mayıs 2019'da yedek olarak geri döndü.
Sallai Freiburg'daki üçüncü sezonuna VfB Stuttgart karşısında alınan 3-2'lik galibiyette bir gol ve bir asistle başladı.[5]Veltins-Arena'daki 2-0'lık galibiyette Schalke 04'e karşı iki gol attı ve spor dergisi Kicker tarafından 12. maç gününün takımına seçildi.[6]
2021-22 ve 2022-23 sezonu
16 Nisan 2022 tarihinde, 2021-22 Bundesliga sezonunun 30. maç haftasında Europa-Park Stadion'da VfL Bochum'a karşı iki gol attı. Her iki asist de Jeong Woo-yeong tarafından hazırlandı.[7] Ayrıca Kicker tarafından 30. Haftanın en iyi oyuncusu seçildi.[8][9]
Nemzeti Sport'a verdiği röportajda, Steven Gerrard'ın yönettiği Al-Ettifaq FC adlı Suudi kulübünün kendisini transfer etmek için çok para teklif ettiğini, ancak kariyerini seçtiğini ve Almanya'da kaldığını söyledi.[12][13][14][15]
21 Eylül 2023 tarihinde, 2023-24 UEFA Avrupa Ligi sezonunda Olympiacos karşısında alınan 3-2'lik galibiyette ilk golünü attı.[16] 5 Ekim 2023'te Avrupa Ligi'nde West Ham United karşısında alınan 2-1'lik yenilgide Freiburg'un tek golünü attı.[17] 26 Ekim 2023 tarihinde, FK TSC ile oynanan 2023-24 UEFA Avrupa Ligi grup aşaması üçüncü hafta maçında sakatlandı.[18][19][20] 30 Kasım 2023'te Olympiacos ile oynanan 2023-24 UEFA Avrupa Ligi maçında sakatlığından döndü.[21]
İlk golünü 95. dakikada 1. FC Köln karşısında alınan 2-0'lık galibiyette attı. Sakatlığı nedeniyle iki ay ara verdiği 2023-24 Bundesliga sezonunun 15. maç gününde FC Köln karşısında ilk golünü attı.[22][23]
20 Ocak 2024'te, 2023-24 Bundesliga sezonunun 18. maç haftasında TSG 1899 Hoffenheim karşısında alınan 3-2'lik galibiyette 85. dakikada galibiyet golünü attı.[24][25][26]
22 Şubat 2024 tarihinde, 2023-24 UEFA Avrupa Ligi 16'lı finallerinin ikinci ayağında RC Lens karşısında alınan 3-2'lik galibiyette iki gol attı.[27][28][29]
Galatasaray
13 Eylül 2024 tarihinde Süper Lig kulübü Galatasaray, 6 mil. € bonservis ücreti karşılığında Sallai ile 4 yıllık sözleşme imzaladığını duyurdu.[30] 21 Eylül 2024 tarihinde, 2024-25 Süper Lig sezonunda Fenerbahçe ile oynanan derbi maçında ilk kez forma giydi.[31] 1 Aralık 2024'te, evlerinde oynadıkları ve 2-2 sona eren Eyüpspor maçında, kulüp adına ilk golünü kaydetti.[32]
İlk uluslararası maçına 20 Mayıs 2016 tarihinde Macaristan'ın Budapeşte kentindeki Groupama Arena'da Fildişi Sahili'ne karşı oynanan dostluk maçında çıktı.[34] Sallai, 5 Mayıs 2016 tarihinde Macaristan'ın Euro 2016 ön kadrosunda yer aldı ancak turnuvanın nihai kadrosunda yer almadı.[35] 11 Eylül 2018'de, 2018-19 UEFA Uluslar Ligi C maçında Budapeşte'deki Groupama Arena'da Yunanistan'a karşı milli takım için ilk golünü attı.[36]
Sallai, 1 Haziran 2021 tarihinde, yeniden planlanan UEFA Euro 2020 turnuvasında Macaristan'ı temsil edecek 26 kişilik nihai kadroya dahil edildi.[37] 14 Haziran 2022'de, 2022-23 UEFA Uluslar Ligi A'da İngiltere'ye karşı deplasmanda alınan 4-0'lık galibiyette, İngiltere'nin 1928'deki Wembley Wizards maçından bu yana evindeki en kötü yenilgisi olan maçta bir gol attı.[38]
20 Kasım 2022 tarihinde Yunanistan'a karşı alınan 2-1'lik galibiyette bir gol attı. Bu maç aynı zamanda Balázs Dzsudzsák'ın vedasıydı.[39]
20 Haziran 2023'te, UEFA Euro 2024 elemeleri G Grubu'nda Puskás Aréna'da Litvanya'ya karşı 83. dakikada 2-0 kazanılan maçta ikinci golü atarak 10. uluslararası golünü kaydetti.[40] 14 Ekim 2023 tarihinde, UEFA Euro 2024 eleme maçında Puskás Aréna'da Sırbistan'a karşı alınan 2-1'lik galibiyette Macaristan'ın ikinci golünü attı.[41][42]
Sallai, 14 Mayıs 2024 tarihinde Macaristan'ın UEFA Euro 2024 kadrosuna dahil edildi. Üç A Grubu maçına da ilk 11'de başladı ve 24 Haziran'daki son grup maçında İskoçya'ya karşı Kevin Csoboth'un 100. dakikada attığı galibiyet golünün asistini yaptı.[43]
