Багатокутні числа

Багатокутне число (полігональне число) — це число, яке можна представити у вигляді крапок (камінчиків), розташованих у вигляді правильного многокутника. Крапки вважаються одиницями (альфами). Багатокутні числа — один з типів фігурних чисел.

Багатокутні числа можуть бути згенеровані за допомогою простого правила обчислення. Треба задати арифметичну прогресію з різницею ${\displaystyle d}$ (${\displaystyle d}$ — натуральне число). Найпростіша послідовність — це послідовність натуральних чисел (${\displaystyle d=1}$). Всі наступні послідовності будуть утворенні додаванням до одиниці різниці ${\displaystyle d}$. Наведемо приклади:

Трикутні числа. Різниця ${\displaystyle d=1}$ приводить нас до суми ${\displaystyle 1+2+3+4+\cdots }$, часткові суми якої утворюють послідовність трикутних чисел ${\displaystyle 1,3,6,10,\dots }$.

Квадратні числа. Різниця ${\displaystyle d=2}$ приводить нас до суми ${\displaystyle 1+3+5+7+\cdots }$, часткові суми якої утворюють послідовність квадратних чисел ${\displaystyle 1,4,9,16,\dots }$.

П'ятикутні числа. Різниця ${\displaystyle d=3}$ приводить нас до суми ${\displaystyle 1+4+7+11+\cdots }$, часткові суми якої утворюють послідовність п'ятикутних чисел ${\displaystyle 1,5,12,22,\dots }$.

Шестикутні числа. Різниця ${\displaystyle d=4}$ приводить нас до суми ${\displaystyle 1+5+9+13+\cdots }$, часткові суми якої утворюють послідовність шестикутних чисел ${\displaystyle 1,6,15,28,\dots }$.

Інколи ${\displaystyle 0}$ визначається як нульове число. Згідно з цією умовою послідовність, наприклад, трикутних чисел приймає наступний вигляд ${\displaystyle 0,1,3,6,10}$.

• 
  10 — четверте число з трикутних чисел Трикутні числа.
• 
  16 — четверте число з квадратних чисел Квадратні числа.
• 
  22 — четверте число з п'ятикутних чисел П'ятикутні числа.
• 
  28 — четверте число з шестикутних чисел Шестикутні числа.

Якщо ${\displaystyle s}$ — кількість сторін у многокутнику, формула ${\displaystyle n}$-го ${\displaystyle s}$-кутного числа ${\displaystyle P(s,n)}$ наступна:

${\displaystyle P(s,n)={\frac {(s-2)n^{2}-(s-4)n}{2}}}$,

або

${\displaystyle P(s,n)=(s-2){\frac {n(n-1)}{2}}+n}$.

${\displaystyle N}$-те ${\displaystyle s}$-кутного число також пов'язане з трикутними числами ${\displaystyle T_{n}}$ таким чином:

${\displaystyle P(s,n)=(s-2)T_{n-1}+n=(s-3)T_{n-1}+T_{n}\,.}$

Звідси

${\displaystyle {\begin{aligned}P(s,n+1)-P(s,n)&=(s-2)n+1\,,\\P(s+1,n)-P(s,n)&=T_{n-1}={\frac {n(n-1)}{2}}\,.\end{aligned}}}$

Для заданого ${\displaystyle s}$-кутного числа ${\displaystyle P(s,n)=x}$ можна знайти ${\displaystyle n}$ та ${\displaystyle s}$ за допомогою формул:

${\displaystyle n={\frac {{\sqrt {8(s-2)x+{(s-4)}^{2}}}+(s-4)}{2(s-2)}}}$,

${\displaystyle s=2+{\frac {2}{n}}\cdot {\frac {x-n}{n-1}}}$.

Застосовуючи формулу наведену вище, маємо

${\displaystyle P(s,n)=(s-2)T_{n-1}+n}$.

Якщо сторін 6, то

${\displaystyle P(6,n)=4T_{n-1}+n}$,

але оскільки

${\displaystyle T_{n-1}={\frac {n(n-1)}{2}}}$,

то звідси випливає, що

${\displaystyle P(6,n)={\frac {4n(n-1)}{2}}+n={\frac {2n(2n-1)}{2}}=T_{2n-1}}$.

Отже, кожне ${\displaystyle n}$-те шестикутне число ${\displaystyle P(6,n)}$ також є ${\displaystyle (2n-1)}$-м трикутним числом ${\displaystyle T_{2n-1}}$. Будь-яке шестикутне число можна знайти просто взявши непарні трикутні числа : 1, 3, 6, 10,15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, …

Перші 6 значень у стовпці «сума обернених значень» (з трикутних по восьмикутні числа) обраховуються в вище наведеній задачі, що також дає загальну формулу для будь-якої кількості сторін, за умовою дигамма функції.^[1]

s	Назва	Формула	n										Сума обернених значень[1][2]	OEIS
			1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
3	Трикутні	1/2(n2 + n)	1	3	6	10	15	21	28	36	45	55	2[1]	A000217
4	Квадратні	1/2(2n2 − 0n) = n2	1	4	9	16	25	36	49	64	81	100	π2/6[1]	A000290
5	П'ятикутні	1/2(3n2 − n)	1	5	12	22	35	51	70	92	117	145	3 ln3 − π√3/3[1]	A000326
6	Шестикутні	1/2(4n2 − 2n) = 2n2 — n	1	6	15	28	45	66	91	120	153	190	2 ln 2[1]	A000384
7	Семикутні	1/2(5n2 − 3n)	1	7	18	34	55	81	112	148	189	235	${\displaystyle {\begin{matrix}{\tfrac {2}{3}}\ln 5\\+{\tfrac {{1}+{\sqrt {5}}}{3}}\ln {\tfrac {\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}{2}}\\+{\tfrac {{1}-{\sqrt {5}}}{3}}\ln {\tfrac {\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}{2}}\\+{\tfrac {\pi {\sqrt {25-10{\sqrt {5}}}}}{15}}\end{matrix}}}$[1]	A000566
8	Восьмикутні	1/2(6n2 − 4n) = 3n2 — 2n	1	8	21	40	65	96	133	176	225	280	3/4 ln 3 + π√3/12[1]	A000567
9	Дев'ятикутні	1/2(7n2 − 5n)	1	9	24	46	75	111	154	204	261	325		A001106
10	Десятикутні	1/2(8n2 − 6n) = 4n2 — 3n	1	10	27	52	85	126	175	232	297	370	ln 2 + π/6	A001107
11	11-кутні	1/2(9n2 − 7n)	1	11	30	58	95	141	196	260	333	415		A051682
12	12-кутні	1/2(10n2 − 8n)	1	12	33	64	105	156	217	288	369	460		A051624
13	13-кутні	1/2(11n2 − 9n)	1	13	36	70	115	171	238	316	405	505		A051865
14	14-кутні	1/2(12n2 − 10n)	1	14	39	76	125	186	259	344	441	550	2/5 ln 2 + 3/10 ln 3 + π√3/10	A051866
15	15-кутні	1/2(13n2 − 11n)	1	15	42	82	135	201	280	372	477	595		A051867
16	16-кутні	1/2(14n2 − 12n)	1	16	45	88	145	216	301	400	513	640		A051868
17	17-кутні	1/2(15n2 − 13n)	1	17	48	94	155	231	322	428	549	685		A051869
18	18-кутні	1/2(16n2 − 14n)	1	18	51	100	165	246	343	456	585	730	4/7 ln 2 − √2/14 ln (3 − 2√2) + π(1 + √2)/14	A051870
19	19кутні	1/2(17n2 − 15n)	1	19	54	106	175	261	364	484	621	775		A051871
20	20-кутні	1/2(18n2 − 16n)	1	20	57	112	185	276	385	512	657	820		A051872
21	21-кутні	1/2(19n2 − 17n)	1	21	60	118	195	291	406	540	693	865		A051873
22	22-кутні	1/2(20n2 − 18n)	1	22	63	124	205	306	427	568	729	910		A051874
23	23-кутні	1/2(21n2 − 19n)	1	23	66	130	215	321	448	596	765	955		A051875
24	24-кутні	1/2(22n2 − 20n)	1	24	69	136	225	336	469	624	801	1000		A051876
...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...
10000	10000-кутні	1/2(9998n2 − 9996n)	1	10000	29997	59992	99985	149976	209965	279952	359937	449920		A167149

Онлайн енциклопедія послідовностей цілих чисел уникає використання термінів з грецькими префіксами (наприклад, "восьмикутній") і надає перевагу числовим позначенням (наприклад, «8-кутний»).

Властивість цієї таблиці виражена  наступною тотожністю (див. A086270 [Архівовано 13 квітня 2021 у Wayback Machine.]) :

${\displaystyle 2\,P(s,n)=P(s+k,n)+P(s-k,n),}$

де

${\displaystyle k=0,1,2,3,...,s-3.}$

Задача 1. (інколи її називають задачею Діофанта). Для заданого натуральне число ${\displaystyle N>2}$, потрібно визначити чи є воно багатокутним числом ${\displaystyle P_{n}^{(k)}}$ і якщо так, то для яких значень ${\displaystyle k}$, ${\displaystyle n}$. Діофант сформулював цю проблему так: «визначити скільки разів задане число зустрічається серед усіх можливих багатокутних чисел». Алгоритм розв'язку задачі:^[3].

1. Випишемо всі натуральні дільники числа ${\displaystyle 2N}$ (включаючи ${\displaystyle 1}$ та ${\displaystyle 2N}$).
2. Випишемо всі натуральні дільники числа ${\displaystyle 2N-2}$.
3. З першого набору виберемо ті числа, які на одиницю більші за будь-яке число з другого набору. Ці числа відповідають ${\displaystyle n}$.
4. Для кожного вибраного ${\displaystyle n}$ обчислюємо ${\displaystyle k={\dfrac {2N-2}{n-1}}-{\dfrac {2N}{n}}+2}$.
5. Відкинемо пари ${\displaystyle (n,k)}$, де ${\displaystyle k<3}$.

Відповідно, всі пари ${\displaystyle P_{n}^{(k)}}$, що залишилися, рівні ${\displaystyle N}$.

Приклад 1. Нехай ${\displaystyle N=105}$.

• Дільники ${\displaystyle 2N=210}$: ${\displaystyle 1,2,3,5,6,7,10,14,15,21,30,35,42,70,105,210}$.
• Дільники ${\displaystyle 2N-2=208}$: ${\displaystyle 1,2,4,8,13,16,26,52,104,208}$.
• Виписуємо ${\displaystyle n=2,3,5,14,105}$.
• Відповідно ${\displaystyle k=105,36,12,14,2}$. Останнє значення відкинемо.

Відповідь: ${\displaystyle 105}$ зустрічається як ${\displaystyle P_{2}^{(105)}}$, ${\displaystyle P_{3}^{(36)}}$, ${\displaystyle P_{5}^{(12)}}$, ${\displaystyle P_{1}4^{(14)}}$, тобто як 2-е 105-кутне, 3-е 36-кутне, 5-е 12-кутне, 14-е 14-кутне число.

Задача 2. Дано натуральне число ${\displaystyle N>2}$, потрібно визначити чи є воно ${\displaystyle k}$-кутним числом ${\displaystyle P_{n}^{(k)}}$. На відміну від попередньої задачі, тут ${\displaystyle k}$ задано. Для розв'язку можна використати тотожністю Діофанта^[4]:

${\displaystyle 8(k-2)P_{n}^{(k)}+(k-4)^{2}=(2n(k-2)-(k-4))^{2}}$.

Цю тотожність легко отримати з наведеної вище загальної формули для ${\displaystyle P_{n}^{(k)}}$. З тотожності випливає розв'язок поставленої задачі: якщо ${\displaystyle N}$ є ${\displaystyle k}$-кутне число, тобто ${\displaystyle N=P_{n}^{(k)}}$ для деякого ${\displaystyle N}$, то ${\displaystyle 8(k-2)N+(k-4)^{2}}$ — це деяке квадратне число ${\displaystyle R^{2}}$ і навпаки. При цьому номер ${\displaystyle n}$ знаходиться за формулою

${\displaystyle n={\frac {R+k-4}{2k-4}}}$.

Приклад 2. Визначити чи є число 1540 10-кутним. Значення ${\displaystyle 8(k-2)N+(k-4)^{2}}$ тут рівне ${\displaystyle 98596=314^{2}}$, тому задане число є 10-кутним. ${\displaystyle n=20}$, отже, 1540 є 20-м 10-кутним числом.

Степеневий ряд, коефіцієнти якого ${\displaystyle k}$-кутні числа, збігається при ${\displaystyle |x|<1}$:

${\displaystyle P_{1}^{(k)}x+P_{2}^{(k)}x^{2}+P_{3}^{(k)}x^{3}+\dots ={\frac {x(1+(k-3)x)}{(1-x)^{3}}}}$.

Вираз справа є твірною функцією для послідовності ${\displaystyle k}$-кутних чисел^[5].

Апарат твірних функцій дозволяє застосовувати в теорії чисел і комбінаториці методи математичного аналізу. Наведена формула також пояснює появу ${\displaystyle k}$-кутних чисел серед коефіцієнтів ряду Тейлора для різноманітних раціональних дробів. Приклади:

При ${\displaystyle k=3}$ : ${\displaystyle {\frac {x}{(1-x)^{3}}}=P_{1}^{(3)}x+P_{2}^{(3)}3x^{2}+P_{3}^{(3)}x^{3}+\dots +P_{n}^{(3)}x^{n}+\cdots }$,

при ${\displaystyle k=4}$ : ${\displaystyle {\frac {x(x+1)}{(1-x)^{3}}}=P_{1}^{(4)}x+P_{2}^{(4)}3x^{2}+P_{3}^{(4)}x^{3}+\dots +P_{n}^{(4)}x^{n}+\cdots }$,

при ${\displaystyle k=5}$ : ${\displaystyle {\frac {x(2x+1)}{(1-x)^{3}}}=P_{1}^{(5)}x+P_{2}^{(5)}3x^{2}+P_{3}^{(5)}x^{3}+\dots +P_{n}^{(5)}x^{n}+\cdots }$.

• Фігурні числа
• Центровані багатокутні числа
• Теорема Ферма про багатокутні числа

• The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers, David Wells (Penguin Books, 1997) [[[Спеціальна:BookSources/0-14-026149-4|ISBN 0-14-026149-4]]].
• Polygonal numbers at PlanetMath [Архівовано 20 лютого 2016 у Wayback Machine.]
• Weisstein, Eric W. Polygonal Numbers(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
• F. Tapson (1999). The Oxford Mathematics Study Dictionary (вид. 2nd). Oxford University Press. с. 88–89. ISBN 0-19-914-567-9.

• Hazewinkel, Michiel, ред. (2001), number Polygonal number, Математична енциклопедія, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
• Polygonal Numbers: Every s-polygonal number between 1 and 1000 clickable for 2<=s<=337 [Архівовано 20 квітня 2012 у WebCite]
• Polygonal Numbers on the Ulam Spiral grid на YouTube
• Polygonal Number Counting Function: http://www.mathisfunforum.com/viewtopic.php?id=17853 [Архівовано 29 листопада 2016 у Wayback Machine.]