Доведення прикладом

Доведення прикладом (іноді знана як невідповідне узагальнення) — це неформальна помилка, згідно з якою справедливість твердження ілюструється одним або кількома прикладами чи випадками, а не повноцінним доказом.^[1][2]

Структура, форма аргументу і формальна форма доказу за прикладом зазвичай виглядає наступним чином:

'Структура:

Я знаю, що X є таким.

Тому все, що стосується X, також є таким.

Форма аргументу^[en]:

Я знаю, що x, який є членом групи X, має властивість P.

Отже, всі інші елементи X повинні мати властивість P.^[2]

Формальна форма:

${\displaystyle \exists x:P(x)\;\;\vdash \;\;\forall x:P(x)}$ (Якщо існують певні x, для яких виконується P(x), для всіх x виконується P(x))

Наступний приклад демонструє, чому ця лінія міркувань є логічною помилкою:

Я бачив, як людина застрелила когось.

Тому всі люди вбивці.

Недолік у цьому аргументі дуже очевидний, але аргументи тієї самої форми іноді можуть здатися дещо переконливими, як свідчить наступний приклад:

Я бачив, як націоналісти переслідують іммігрантів.

Тому націоналісти мають бути переслідувачами.

У загальноприйнятому дискурсі доведення прикладом також може бути використаний для опису спроби встановити твердження за допомогою статистично незначущих прикладів. У цьому випадку перевага кожного аргументу може бути оцінена на індивідуальній основі.^[3]

У деяких сценаріях аргумент за прикладом може бути дійсним, якщо він веде від єдиної передумови до «екзистенційного» висновку (тобто доводить, що твердження вірне хоча б для одного випадку, а не для всіх випадків). Наприклад:

Сократ мудрий.

Отже, хтось мудрий.

(або): Я бачив, як людина крала.

Тому (деякі) люди можуть красти.

Ці приклади окреслюють неформальну версію логічного правила, відомого як екзистенційне узагальнення^[en]:

Екзистенційне узагальнення

${\displaystyle {\underline {\varphi (\beta /\alpha )}}\,\!}$

${\displaystyle \exists \alpha \,\varphi \,\!}$

(де ${\displaystyle \varphi (\beta /\alpha )}$ позначає формулу, утворену шляхом заміни всіх вільних входжень змінної ${\displaystyle \alpha }$ у ${\displaystyle \varphi }$ на ${\displaystyle \beta }$.)

У математиці доведення прикладом також може використовуватися для посилань на спроби проілюструвати твердження шляхом доведення випадків твердження, розуміючи, що ці випадки містять ключові ідеї, які можна узагальнити в повноцінне доведення.^[4]

• Benjamin Matschke: Valid proofs by example in mathematics (arXiv)