Конус

Конус
Досліджується в	стереометрія
Підтримується Вікіпроєктом	Вікіпедія:Проєкт:Математика
Конус у Вікісховищі

Ко́нус (лат. conus від дав.-гр. κώνος — «шпичак шолома», «шишка»)^[1] заст. кружі́ль^[2]— геометричне тіло, отримане шляхом об'єднання всіх променів, що виходять з однієї точки — вершини конуса, і таких що проходять через довільну плоску криву. Іноді конусом називають частину такого тіла, отриману об'єднанням усіх відрізків, що з'єднують вершину і точки пласкої поверхні (яку в такому випадку називають основою конуса, а конус називають таким, що спирається на дану поверхню). Надалі буде розглядатися саме цей випадок, якщо не сказано про інше.

За ДСТУ: конус — узагальнений термін, під яким залежно від конкретних умов розуміють конічну поверхню, конічну деталь чи конічний елемент^[3].

Відрізок, опущений перпендикулярно з вершини на площину основи (а також його довжина), називається висотою конуса. Якщо площа основи має скінченне значення, то об'єм конуса також має скінченне значення і дорівнює третині добутку висоти на площу основи. Таким чином всі конуси, що спираються на дану основу, і мають вершину в площині, паралельній цій основі, мають рівний об'єм, оскільки їх висоти рівні. Якщо основою конуса є многокутник, тоді конус стає пірамідою. Таким чином піраміди є підмножиною конусів.

Відрізок, що сполучає вершину конуса з точкою границі його основи називається твірною конуса. Множина всіх твірних конуса називається бічною поверхнею конуса.

Якщо основа конуса має центр симетрії (наприклад, є еліпсом) і ортогональна проєкція вершини конуса на його основу збігається з цим центром, то конус називається прямим. При цьому пряма, що сполучає вершину конуса з центром його основи називається віссю конуса. Якщо ж ортогональна проєкція вершини не збігається з центром основи, то такий конус називається косим.

У курсі шкільної геометрії розглядають конус (точніше, прямий круговий конус [Архівовано 15 грудня 2019 у Wayback Machine.]). Конусом (точніше, круговим конусом) називається тіло, яке складається із круга — основи конуса, точки, що не лежить в площині цього круга, — вершини конуса і всіх відрізків, які з'єднують вершину конуса з точками основи.

Прямий круговий конус (часто його називають просто конусом) можна отримати обертанням прямокутного трикутника навколо одного з катетів, який таким чином стане віссю конуса. Конус обертання в прямокутній системі координат описується системою нерівностей:

${\displaystyle \left\{{{x^{2}+y^{2}\leq \left({\frac {zr}{h}}\right)^{2}} \atop {0\leq z\leq h}}\right.}$

де ${\displaystyle r>0,\ h>0}$

З усіх конусів тільки прямий круговий є тілом обертання.

Перетин площини з прямим круговим конусом є одним з конічних перерізів (в невироджених випадках — еліпсом, параболою чи гіперболою, в залежності від розміщення січної площини).

Частина конуса, що лежить між основою і площиною, паралельною до основи і знаходиться між вершиною і основою, називається зрізаним конусом.

Конус, що спирається на еліпс, гіперболу чи параболу називається відповідно еліптичним, гіперболічним чи параболічним конусом (останні два мають нескінченний об'єм).

Повна площа прямого кругового конуса

${\displaystyle S=\pi rl+\pi r^{2}}$ ,

де r та l — радіус кола основи та довжина твірної бічної поверхні відповідно.

Площа бічної поверхні прямого кругового конуса

${\displaystyle S_{b}=\pi rl}$,

де r та l — радіус кола основи та довжина твірної бічної поверхні відповідно.

У загальному випадку:

${\displaystyle V={\frac {1}{3}}Sh}$,

де S — площа основи, h — висота конуса.

Об'єм кругового конуса, відповідно:

${\displaystyle V={\frac {1}{3}}\pi r^{2}h}$,

Формулу об'єму конуса легко отримати із використанням інтегрального числення. Ми знаємо, що об'єм твердого тіла дорівнює інтегралу площі його перерізу вздовж певної осі. Отже, з точністю до сталої, це інтеграл ${\displaystyle \int x^{2}dx={\tfrac {1}{3}}x^{3}.}$

Цей термін означає кут ${\displaystyle \alpha }$ при вершині в осьовому перерізі конуса.

${\displaystyle \alpha =2\operatorname {arctg} {\frac {r}{h}}}$

Конус можна описати навколо піраміди, якщо її основа — многокутник, навколо якого можна описати коло, а вершина піраміди проєктується в центр цього кола. Радіус конуса дорівнює радіусу цього кола; висоти конуса і піраміди збігаються.

Конус можна вписати в піраміду, якщо її основа — многокутник, у який можна вписати коло, а вершина піраміди проєктується в центр цього кола. Радіус конуса дорівнює радіусу цього кола; висота конуса і піраміди збігаються.

Кулю можна описати навколо довільного конуса. Коло основи конуса і вершина конуса лежать на поверхні кулі. Центр кулі лежить на осі конуса і збігається з центром кола, описаного навколо трикутника, який є осьовим перерізом конуса. Переріз площиною, що проходить через вісь конуса (осьовий переріз). Об'єм кулі, описаної навколо прямого кругового конуса:

${\displaystyle V_{k}={1 \over 6}\pi {\frac {l^{6}}{(l^{2}-r^{2}){\sqrt {l^{2}-r^{2}}}}}}$, де ${\displaystyle l}$ — твірна конуса; ${\displaystyle r}$ — радіус основи конуса.

Радіус кулі R, радіус основи конуса r і висота конуса H пов'язані співвідношенням:

${\displaystyle R^{2}={\bigl (}H-R{\bigr )}^{2}+r^{2}}$

Це співвідношення справедливе зокрема для випадку, коли ${\displaystyle H\leq R}$.

Кулю можна вписати в довільний конус. Куля дотикається основи конуса в його центрі і бічної поверхні конуса по колу, що лежить в площині, яка паралельна основі конуса. Центр кулі лежить на осі конуса і збігається з центром кола, вписаного в трикутник, що є осьовим перерізом конуса. Радіус кулі R, радіус основи конуса r і висота конуса H пов'язані співвідношенням: ${\displaystyle {\frac {R}{H-R}}={\frac {r}{\sqrt {H^{2}+r^{2}}}}}$

Форму конусів мають насипані на горизонтальній поверхні купи піску, зерна, вугілля, породи, щебеню тощо. Кожному такому матеріалу відповідає кут природного укосу^[4] - кут нахилу твірної до площини основи конуса. Для піску він дорівнює приблизно 30°, для вугілля — 42°, для породи — 46°.

• Блазенський ковпак
• Зрізаний конус
• Інструментальний конус
• Конічна поверхня
• Конічні перетини
• Конус (алгебрична геометрія)
• Конус (топологія)
• Конусність
• Проєктивний конус
• Умова конуса

• Геометрія. 10-11 класи [Текст]: пробний підручник / Афанасьєва О. М. [та ін.]. — Тернопіль: Навчальна книга- Богдан, 2003. — 264 с. — ISBN 966-692-161-8
• Геометрія. 11 клас [Текст]: підручник для загальноосвітніх навчальних закладів: академічний рівень, профіл.рівень / Бевз Г. П. [та ін.]. — Київ: Генеза, 2011. — 336 с.
• Геометрія: Стереометрія: 10-11 класи [Текст]: підручник / Погорєлов О. В.  — Київ: Освіта, 2001. — 128 с.
• Наочний довідник з геометрії [Текст] / Генденштейн Л. Е., Єршова А. П.  — Харків — Тернопіль: Гімназія — Підручники і посібники, 1997. — 96 с.