Нелінійна авторегресійна екзогенна модель

У моделюванні часових рядів неліні́йна авторегресі́йна екзоге́нна моде́ль (англ. nonlinear autoregressive exogenous model, NARX) — це нелінійна авторегресійна модель, яка має екзогенні входи. Це означає, що така модель ставить поточне значення часового ряду у відповідність до:

• минулих значень того самого ряду, та
• поточних та минулих значень приводного (екзогенного) ряду — тобто, зовнішньо визначеного ряду, який впливає на цільовий ряд.

Крім того, ця модель включає:

• член «похибки»

який відповідає тому фактові, що знання інших членів не дає можливості передбачувати поточне значення часового ряду точно.

Таку модель може бути сформульовано алгебрично як

${\displaystyle y_{t}=F(y_{t-1},y_{t-2},y_{t-3},\ldots ,u_{t},u_{t-1},u_{t-2},u_{t-3},\ldots )+\varepsilon _{t}}$

Тут y є цільовою змінною, а u є змінною, що визначається ззовні. У цій схемі інформація про u допомагає передбачувати y, як це роблять і попередні значення самої y. ε тут є членом похибки (який іноді називають шумом). Наприклад, y може бути температурою повітря опівдні, а u може бути днем року (номером дня в межах року).

Функція F — це деяка нелінійна функція, наприклад, поліномна. F може бути нейронною мережею, вейвлетною мережею, сигмоїдною мережею тощо. Для перевірки нелінійності в часовому ряді може застосовуватися критерій Брока — Декерта — Шейнкмана (англ. Brock-Dechert-Scheinkman, BDS test), розроблений для економетрії.

• S. A. Billings. "Nonlinear System Identification: NARMAX Methods in the Time, Frequency, and Spatio-Temporal Domains, Wiley, ISBN 978-1-1199-4359-4, 2013. (англ.)
• I.J. Leontaritis and S.A. Billings. "Input-output parametric models for non-linear systems. Part I: deterministic non-linear systems". Int'l J of Control 41:303-328, 1985. (англ.)
• I.J. Leontaritis and S.A. Billings. "Input-output parametric models for non-linear systems. Part II: stochastic non-linear systems". Int'l J of Control 41:329-344, 1985. (англ.)
• O. Nelles. "Nonlinear System Identification". Springer Berlin, ISBN 3-540-67369-5, 2000. (англ.)
• W.A. Brock, J.A. Scheinkman, W.D. Dechert and B. LeBaron. "A Test for Independence based on the Correlation Dimension". Econometric Reviews 15:197-235, 1996. (англ.)

• Відкрита реалізація моделі NARX із застосуванням нейронних мереж