دالہ کی حد

x	${\displaystyle {\frac {\sin x}{x}}}$
1	0.841471
0.1	0.998334
0.01	0.999983

Although the function (sin x)/x is not defined at zero, as x becomes closer and closer to zero, (sin x)/x becomes arbitrarily close to 1. We say that "the limit of (sin x)/x as x approaches zero equals 1."

ریاضیات میں فنکشن کی حد بنیادی تصور ہے احصا اور تحلیل میں، کسی ادخال کے قریب دالہ کے کردار کے متعلق۔ غیر رسمی طور پر، فنکشن f کسی ادخال x کو اخراج f(x) تفویض کرتی ہے۔ فنکشن کی ادخال p پر حد L ہو گی اگر f(x) "قریب" ہو L کے جب بھی x "قریب" ہو p کے۔ دوسرے الفاظ میں، f(x) قریب تر ہوتی جائے گی L کے جیسے جیسے x قریب تر ہوتا جاتا ہے p کے۔ زیادہ خاصاً، جب f کا اطلاق p کے "کافی" قریب ہر ادخال پر کیا جائے، تو نتیجہ اخراج ایسا ہو گا جو L کے "تعسّفی" قریب ہو گا۔ اگر p کے "قریب" ادخال ایسے اخراج پیدا کریں جو بہت مختلف ہوں، تو کہا جائے گا کہ حد وجود نہیں رکھتی۔ رسمی تعاریف انسویں صدی میں بنائی گئیں جو نیچے دی ہیں۔

ذیل میں دی گئی -(ε, δ)تعاریف جامع طور فنکشن کی حد تسلیم کی جاتی ہیں۔

فرض کرو کہ f : R → R تعریف ہے حقیقی لکیر پر اور اعداد p,L ∈ R، تو ہم کہتے ہیں کہ فنکشن f کی حد L ہے جب x قریب ہوتا جاتا ہے p کے اور لکھتے ہیں

${\displaystyle \lim _{x\to p}f(x)=L}$

اگر بشرط اگر ہر حقیقی ε> 0 کے لیے ایسا حقیقی δ> 0 وجود رکھتا ہو کہ 0 <| x - p | <δ سے تفویض ہوتا ہو کہ | f(x) - L | <ε.
غور کرو کہ اس حد کی قدر f(p) پر منحصر نہیں۔

متبادلاً، متغیر x چاہے اُوپر (دائیں طرف) سے p کے قریب آ رہا ہو، اس صورت میں حد کو لکھا جائے گا

${\displaystyle \lim _{x\to p^{+}}f(x)=L^{+}}$

یا پھر نیچے (بائیں طرف) سے کے p قریب آ رہا ہو، تو اس صورت میں حد کو لکھا جائے گا

${\displaystyle \lim _{x\to p^{-}}f(x)=L^{-}}$

اگر یہ دونوں حدیں برابر ہوں اور ${\displaystyle L=L^{+}=L^{-}}$ کے برابر ہوں تو پھر اسے f(x) کی p پر حد کہا جا سکتا ہے۔ اگر یہ دونوں حدیں L کے برابر نہ ہوں تو p پر اس فنکشن کی حد وجود نہیں رکھتی۔

f(x) S> 0 x> S.

اگر توسیعی حقیقی لکیر R کو دیکھا جائے، یعنی، R ∪ {-∞, ∞}، تو پھر لامتناہی پر فنکشن کی حد تعریف کرنا ممکن ہو جاتا ہے۔

اگر f(x) حقیقی قدر فنکشن ہو، تو f کی حد جب x لامتناہی کی طرف نکلے، L ہو گی، علامتاً

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }f(x)=L,}$

اگر بشرط اگر تمام ${\displaystyle \epsilon >0}$ کے لیے ایسا S> 0 وجود رکھتا ہو کہ ${\displaystyle \ |f(x)-L|<\epsilon }$ ہو جب بھی x> S.

بعینہی، f کی حد جب x منفی لامتناہی کی طرف نکلے، L ہو گی، علامتاً

${\displaystyle \lim _{x\to -\infty }f(x)=L,}$

اگر بشرط اگر تمام ${\displaystyle \epsilon >0}$ کے لیے ایسا S <0 وجود رکھتا ہو کہ ${\displaystyle \ |f(x)-L|<\epsilon }$ ہو جب بھی x <S.

مثال کہ طور پر

${\displaystyle \lim _{x\to -\infty }e^{x}=0.}$

حدوں کی اقدار لامتناہی بھی ہو سکتی ہیں، مثلاً، فنکشن f کی حد حب x چلے a کو پہنچنے، لامتناہی ہے، یوں لکھا جائے گا

${\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=\infty ,}$

اگر بشرط اگر تمام ${\displaystyle S>0}$ کے لیے ایسا ${\displaystyle \delta >0}$ وجود رکھتا ہو کہ ${\displaystyle f(x)>S}$ ہو جب بھی ${\displaystyle \ |x-a|<\delta }$

ان خیالات سے مختلف تعاریف اخذ کی جا سکتی ہیں، جیسا کہ

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }f(x)=\infty ,\lim _{x\to a^{+}}f(x)=-\infty .}$

مثال کے طور پر

${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}\ln x=-\infty .}$