廣義速度

拉格朗日力學時常涉及廣義速度。假設一個物理系統的廣義坐標是${\displaystyle (q_{1},\ q_{2},\ q_{3},\ \dots ,\ q_{N})\,\!}$，表示廣義速度為${\displaystyle ({\dot {q}}_{1},\ {\dot {q}}_{2},\ {\dot {q}}_{3},\ \dots ,\ {\dot {q}}_{N})\,\!}$。廣義速度定義為廣義坐標對於時間${\displaystyle t\,\!}$的導數：

${\displaystyle {\dot {q}}_{i}={dq_{i} \over dt}\,\!}$。

在三維空間裏，一個質量為${\displaystyle m\,\!}$、速度為${\displaystyle \mathbf {v} \,\!}$的粒子的動能是

${\displaystyle T={\frac {1}{2}}mv^{2}\,\!}$。

速度是位置${\displaystyle \mathbf {r} \,\!}$對於時間${\displaystyle t\,\!}$的導數。應用偏微分链式法则，可以得到

${\displaystyle \mathbf {v} ={\frac {d\mathbf {r} }{dt}}=\sum _{i}\ {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q_{i}}}{\dot {q}}_{i}+{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}\,\!}$；

其中，${\displaystyle q_{i}\,\!}$是第${\displaystyle i\,\!}$個廣義坐標，${\displaystyle {\dot {q}}_{i}\,\!}$是對應的廣義速度。

所以，

${\displaystyle T={\frac {1}{2}}m\left(\sum _{i}\ {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q_{i}}}{\dot {q}}_{i}+{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}\right)^{2}\,\!}$。

將方程式展開^[1]，動能可以分為三個項目表示：

${\displaystyle T=T_{0}+T_{1}+T_{2}\,\!}$；

其中，

${\displaystyle T_{0}={\frac {1}{2}}m\left({\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}\right)^{2}\,\!}$，

${\displaystyle T_{1}=\sum _{i}\ m{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}\cdot {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q_{i}}}{\dot {q}}_{i}\,\!}$，

${\displaystyle T_{2}=\sum _{i,j}\ {\frac {1}{2}}m{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q_{i}}}\cdot {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q_{j}}}{\dot {q}}_{i}{\dot {q}}_{j},\!}$。

${\displaystyle T_{0}\,\!}$、${\displaystyle T_{1}\,\!}$、${\displaystyle T_{2}\,\!}$分別為廣義速度${\displaystyle {\dot {q}}_{i}\,\!}$的0次、1次、2次齊次函數。如果這系統是定常系統，位置不顯性地含時間，${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}=0\,\!}$，則只有${\displaystyle T_{2}\,\!}$不等於零。所以，${\displaystyle T=T_{2}\,\!}$，動能是廣義速度的2次齊次函數。

• 拉格朗日力學
• 哈密頓力學
• 虛功
• 廣義力

1. ^ Goldstein, Herbert. Classical Mechanics 3rd. United States of America: Addison Wesley. 1980: pp. 25. ISBN 0201657023 （英语）.  引文格式1维护：冗余文本 (link)