旋量

在數學幾何學與物理中，旋量（spinor）是複向量空間中的元素。旋量乃自旋群的表象，類似於歐幾里得空間中的向量以及更廣義的張量，當歐幾里得空間進行無限小旋轉時，旋量做相應的線性轉換。當如此一系列這樣的小旋轉組合成一定量的旋轉時，這些旋量轉換的次序會造成不同的組合旋轉結果，與向量或張量的情形不同。當空間從0°開始，旋轉了完整的一圈（360°），旋量發生了正負號變號（見圖），這個特徵即是旋量最大的特點。在一給定維度下，需要旋量才能完整地描述旋轉，如此引入了額外數量的維度。

在閔考斯基空間的情形，也可以定義出相似的旋量，其中狹義相對論的勞侖茲轉換扮演旋轉的角色。旋量最先是由埃利·嘉當於1913年引入幾何學。^[1]^[2]在1920年代，物理學家發現若要描述電子及其他次原子粒子的內稟角動量或自旋，旋量為不可或缺的角色。旋量群為所有旋轉相關的旋量所構成的群，其二重覆疊了旋轉群，因為每個完整旋轉結果皆有兩種不同但等效的旋轉方式。

概論

一種特定的旋量是旋轉群（李群SO(n，R)）的投影表示中的元素，或更廣義地說，是SO(p,q，R)群的投影表示中的元素。

旋量常被描述成「向量的平方根」，因為向量表示會出現在兩個相同旋量表示的張量積。

旋量中最典型的是狄拉克旋量。

數學性質

當前有兩種架構可建構出旋量。

一者是表示論架構。正交群的李代數中，有一些群表示無法以尋常的張量來建構，這些群表示稱之為旋量群表示（英语：Spin representation），組成成分即旋量。在此觀點下，旋量屬於旋轉群的二重覆疊的表示SO(n, R)；更廣義的情形，其為度規記號（英语：metric signature）為(p, q)之空間中，廣義特殊正交群的二重覆疊SO⁺(p, q, R)。這些二重覆疊為稱作旋量群Spin(n)或Spin(p, q)的李群。

二者是幾何架構。人們可以直接建構旋量，並檢視相關李群操作下旋量的行為。此方法的優點是直觀，但對旋量的複雜性質則難以處理，例子包括菲爾茲恆等式（英语：Fierz identity）。

克里福代數

自旋群

物理學中的名詞

表示論中的旋量

歷史

埃利·嘉當於1913年提出旋量的最廣義數學形式。^[3]「旋量」一詞則是首先出現在保羅·埃倫費斯特的量子物理論文中。^[4]

1927年，沃爾夫岡·包立將旋量應用至數學物理，當時他引入了自旋矩陣。^[5]隔年，保羅·狄拉克發現了相對論性的電子自旋理論，其中展示了旋量與勞侖茲群的關連。^[6]於1930年代，狄拉克、皮亞特·海恩以及玻爾研究所的其他研究者建立了Tangloids（英语：Tangloids）之類的玩具，作為旋量的教學以及旋量微積分的模型。

建構

克萊布希－高登係數

低維度總結

參考文獻

^ Cartan 1913.
^ Quote from Elie Cartan: The Theory of Spinors, Hermann, Paris, 1966, first sentence of the Introduction section of the beginning of the book (before the page numbers start): "Spinors were first used under that name, by physicists, in the field of Quantum Mechanics. In their most general form, spinors were discovered in 1913 by the author of this work, in his investigations on the linear representations of simple groups*; they provide a linear representation of the group of rotations in a space with any number $n$ of dimensions, each spinor having $2^{\nu }$ components where $n=2\nu +1$ or $2\nu$ ." The star (*) refers to Cartan 1913.
^ Cartan 1913
^ Tomonaga 1998，第129頁
^ Pauli 1927.
^ Dirac 1928.

書目

Brauer, Richard; Weyl, Hermann, Spinors in n dimensions, American Journal of Mathematics (The Johns Hopkins University Press), 1935, 57 (2): 425–449, JSTOR 2371218, doi:10.2307/2371218 .
Cartan, Élie, Les groupes projectifs qui ne laissent invariante aucune multiplicité plane (PDF), Bul. Soc. Math. France, 1913, 41: 53–96 [2015-05-29], （原始内容存档 (PDF)于2017-06-29） .
Cartan, Élie, The theory of spinors, Paris, Hermann (reprinted 1981, Dover Publications), 1966, ISBN 978-0-486-64070-9
Chevalley, Claude, The algebraic theory of spinors and Clifford algebras, Columbia University Press (reprinted 1996, Springer), 1954, ISBN 978-3-540-57063-9 .
Dirac, Paul M., The quantum theory of the electron, Proceedings of the Royal Society of London, 1928, A117: 610–624, JSTOR 94981 .
Fulton, William; Harris, Joe, Representation theory. A first course, Graduate Texts in Mathematics, Readings in Mathematics 129, New York: Springer-Verlag, 1991, ISBN 0-387-97495-4, MR 1153249 .
Gilkey, Peter B., Invariance Theory, the Heat Equation, and the Atiyah–Singer Index Theorem, Publish or Perish, 1984 [2015-05-29], ISBN 0-914098-20-9, （原始内容存档于2020-07-06） .
Harvey, F. Reese, Spinors and Calibrations, Academic Press, 1990, ISBN 978-0-12-329650-4 .
Hazewinkel, Michiel (编), Spinor, 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4
Hitchin, Nigel J., Harmonic spinors, Advances in Mathematics, 1974, 14: 1–55, MR 0358873, doi:10.1016/0001-8708(74)90021-8 .
Lawson, H. Blaine; Michelsohn, Marie-Louise, Spin Geometry, Princeton University Press, 1989, ISBN 0-691-08542-0 .
Pauli, Wolfgang, Zur Quantenmechanik des magnetischen Elektrons, Zeitschrift für Physik, 1927, 43 (9–10): 601–632, Bibcode:1927ZPhy...43..601P, doi:10.1007/BF01397326 .
Penrose, Roger; Rindler, W., Spinors and Space–Time: Volume 2, Spinor and Twistor Methods in Space–Time Geometry, Cambridge University Press, 1988, ISBN 0-521-34786-6 .
Tomonaga, Sin-Itiro, Lecture 7: The Quantity Which Is Neither Vector nor Tensor, The story of spin, University of Chicago Press: 129, 1998, ISBN 0-226-80794-0

[1] Cartan 1913.

[cartan-1966-quote-2] Quote from Elie Cartan: The Theory of Spinors, Hermann, Paris, 1966, first sentence of the Introduction section of the beginning of the book (before the page numbers start): "Spinors were first used under that name, by physicists, in the field of Quantum Mechanics. In their most general form, spinors were discovered in 1913 by the author of this work, in his investigations on the linear representations of simple groups*; they provide a linear representation of the group of rotations in a space with any number $n$ of dimensions, each spinor having $2^{\nu }$ components where $n=2\nu +1$ or $2\nu$ ." The star (*) refers to Cartan 1913.

[3] Cartan 1913

[4] Tomonaga 1998，第129頁

[5] Pauli 1927.

[6] Dirac 1928.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

旋量

概論