Eulerova formula

Ovaj članak govori o Eulerovoj formuli u kompleksnoj analizi. Za članak o Eulerovoj formuli u altebarskoj topologiji i poliedričnoj kombinatorici, pogledajte Eulerova karakteristika. Također pogledajte teme nazvane po Euleru.

Dio serije članaka o matematičkoj konstanti e Prirodni logaritam Primjene u: Složena kamata · Eulerov identitet i Eulerova formula  · Poluživoti i eksponencijalni rast/opadanje Definicije broja e: Dokaz da je e iracionalan broj  · Predstavljanja broja e · Lindemann–Weierstrassov teorem Ljudi John Napier  · Leonhard Euler Schanuel's conjecture

Eulerova formula, koja je dobila naziv po Leonhardu Euleru, je matematička formula u kompleksnoj analizi koja pokazuju duboku povezanost između trigonometrijskih funkcija i kompleksne eksponencijalne funkcije. Eulerova formula iskazuje da je, za svaki realan broj x,

${\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x\!}$

gdje je e baza prirodnog logaritma, i je imaginarna jedinica, a cos i sin su trigonometrijske funkcije kosinus i sinus, sa argumentom x dat u radijanima (rijetko u stepenima. Formula vrijedi i kada je x kompleksan broj.^[1]

Richard Feynman nazvao je Eulerovu formulu "našim draguljem" i "najizvanrednojom formulom u matematici".^[2]

Bernoulli je oko 1702. godine zapisao

${\displaystyle {\frac {dx}{1+x^{2}}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {dx}{1-ix}}+{\frac {dx}{1+ix}}\right)}$. i

${\displaystyle \int {\frac {dx}{1+x}}=\ln(1+x),}$

Navedene jednakosti daju nam uvid u pojam kompleksnih logaritmima. Bernoulli, međutim, nije ocijenio cjelinu. Njegovo dopisivanje s Eulerom (koji je također poznavao jednakost) pokazuje da nije naslutio dubinu matematičke pozadine. U međuvremenu je Roger Cotes 1714. godine otkrio da je

${\displaystyle \ln(\cos x+i\sin x)=ix\ }$

On nije uočio činjenicu da kompleksni logaritmi mogu imati beskonačno mnogo vrijednosti i to posljedično periodičnosti trigonometrijskih funkcija. Oko 1740. Euler je obratio pažnju na eksponencijalne funkcije umjesto logaritamskih i izveo formulu koja je nazvana njemu u čast. Formula

${\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x\,\!}$

je objavljena 1748. godine i Eulerov dokaz formule je zasnovan na jednakosti beskonačnih redova obje strane izvoda.U to doba niko nije uočio geometrijsku interpretaciju formule, kao pogled na kompleksne brojeve predstavljene u kompleksnoj ravni. Tu vezu je ustanovio Caspar Wessel pedesetak godina kasnije.

Eulerova formula može se predstaviti na način da funkcija ${\displaystyle e^{ix}}$ rotira oko koordinantnog početka kompleksne ravni pri čemu x prima vrijednosti iz domene realnih brojeva. U tom smislu ${\displaystyle x}$ je ugao što između duži, koja spaja koordinantni početak kompleksne ravnii s odgovarajućom točkom na jediničnoj kružnici, i pozitivne realne ose. Pri tome duž( vektor u kompleksnoj ravnini), rotira smjerom suprotno od smjera kazaljki na satu, a veličina ugla ourađava se u radijanima. Izvorni dokaz se zasniva na razvoju Taylorovih redova za eksponencijalnu funkciju ${\displaystyle e^{z}}$ i periodičnih funkcija ${\displaystyle sinx}$ i ${\displaystyle cosx}$, gdje je ${\displaystyle z}$ kompleksni broj, a ${\displaystyle x}$ realan broj. Isti dokaz pokazuje da formula vrijedi i za ${\displaystyle x}$ bilo koji kompleksan broj.

Eulerova formula omogućava prelaz iz prikaza kompleksnog broja u kartezijevim koordinatama u prikaz u polarnim koordinatama. Iskaz kompleksnog broja u polarnim koordinatama pojednostavljuje složenije operacije s kompleksnim brojevima kao što su, množenje i stepenovanje, a iz razloga što se bilo koji kompleksan broj ${\displaystyle z=x+iy}$ može zapisati kao

${\displaystyle z=x+iy=|z|(\cos \phi +i\sin \phi )=|z|e^{i\phi }\,}$

${\displaystyle {\bar {z}}=x-iy=|z|(\cos \phi -i\sin \phi )=|z|e^{-i\phi }\,}$

gdje je

${\displaystyle x=\mathrm {Re} \{z\}\,}$ realni dio

${\displaystyle y=\mathrm {Im} \{z\}\,}$ imaginarni dio

${\displaystyle |z|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$ apsolutna vrijednost ili veličina od ${\displaystyle z}$

${\displaystyle \phi =\,}$ ${\displaystyle arctan(y,x}$) zadan u radijanima.

${\displaystyle a=e^{\ln(a)}\ }$

${\displaystyle e^{a}e^{b}=e^{a+b}\ }$

${\displaystyle z=|z|e^{i\phi }=e^{\ln |z|}e^{i\phi }=e^{\ln |z|+i\phi }\ }$

${\displaystyle \ln z=\ln |z|+i\phi \ .}$

${\displaystyle (e^{a})^{k}=e^{ak}\ ,}$

Eulerova formula je veza između analize i trigonometrija, i daje tumačenje sinus i kosinus funkcija preko eksponencijalne funkcije

${\displaystyle {\begin{aligned}\cos x&=\mathrm {Re} \{e^{ix}\}={e^{ix}+e^{-ix} \over 2}\\\sin x&=\mathrm {Im} \{e^{ix}\}={e^{ix}-e^{-ix} \over 2i}\end{aligned}}}$

Izvode se sabiranjem ili Eulerove formule

${\displaystyle {\begin{aligned}e^{ix}&=\cos x+i\sin x\;\\e^{-ix}&=\cos(-x)+i\sin(-x)=\cos x-i\sin x\;\end{aligned}}}$

rješavanjem po sin ili cos funkciji.

Ove formule mogu poslužiti kao definicije trigonometrijskih funkcija kompleksnog argumenta x.

Za ${\displaystyle x=iy}$ imamo

${\displaystyle {\begin{aligned}\cos(iy)&={e^{-y}+e^{y} \over 2}=\cosh(y)\\\sin(iy)&={e^{-y}-e^{y} \over 2i}=-{e^{y}-e^{-y} \over 2i}=i\sinh(y)\ .\end{aligned}}}$

Kompleksne eksponencijalne funkcije znatno pojednostavljuju trigonometriju jer je daleko lakše računati s njima nego sa sinusnim, odn. kosinusnim ekvivalentima. Jedan od načina je da se prikaz periodične funkcije jednostavno prikaže pomoću eksponencijalne funkcije.

Primjer

${\displaystyle {\begin{aligned}\cos x\cdot \cos y&={\frac {(e^{ix}+e^{-ix})}{2}}\cdot {\frac {(e^{iy}+e^{-iy})}{2}}\\&={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {e^{i(x+y)}+e^{i(x-y)}+e^{i(-x+y)}+e^{i(-x-y)}}{2}}\\&={\frac {1}{2}}{\bigg [}\underbrace {\frac {e^{i(x+y)}+e^{-i(x+y)}}{2}} _{\cos(x+y)}+\underbrace {\frac {e^{i(x-y)}+e^{-i(x-y)}}{2}} _{\cos(x-y)}{\bigg ]}\ \end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\cos(nx)&=\mathrm {Re} \{\ e^{inx}\ \}=\mathrm {Re} \{\ e^{i(n-1)x}\cdot e^{ix}\ \}\\&=\mathrm {Re} \{\ e^{i(n-1)x}\cdot (\underbrace {e^{ix}+e^{-ix}} _{2\cos(x)}-e^{-ix})\ \}\\&=\mathrm {Re} \{\ e^{i(n-1)x}\cdot 2\cos(x)-e^{i(n-2)x}\ \}\\&=\cos[(n-1)x]\cdot 2\cos(x)-\cos[(n-2)x]\ \end{aligned}}}$

${\displaystyle e^{z}=1+{\frac {z}{1!}}+{\frac {z^{2}}{2!}}+{\frac {z^{3}}{3!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}.}$

${\displaystyle e^{z}=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)^{n}~.}$

${\displaystyle {\begin{aligned}i^{0}&{}=1,\quad &i^{1}&{}=i,\quad &i^{2}&{}=-1,\quad &i^{3}&{}=-i,\\i^{4}&={}1,\quad &i^{5}&={}i,\quad &i^{6}&{}=-1,\quad &i^{7}&{}=-i,\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}e^{ix}&{}=1+ix+{\frac {(ix)^{2}}{2!}}+{\frac {(ix)^{3}}{3!}}+{\frac {(ix)^{4}}{4!}}+{\frac {(ix)^{5}}{5!}}+{\frac {(ix)^{6}}{6!}}+{\frac {(ix)^{7}}{7!}}+{\frac {(ix)^{8}}{8!}}+\cdots \\[8pt]&{}=1+ix-{\frac {x^{2}}{2!}}-{\frac {ix^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+{\frac {ix^{5}}{5!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}-{\frac {ix^{7}}{7!}}+{\frac {x^{8}}{8!}}+\cdots \\[8pt]&{}=\left(1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+{\frac {x^{8}}{8!}}-\cdots \right)+i\left(x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots \right)\\[8pt]&{}=\cos x+i\sin x\ .\end{aligned}}}$

• Animacija o Eulerovoj formuli
• Eulerov identitet
• Kompleksan broj
• de Moivreova formula
• Eksponencijacija
• Eksponencijalna funkcija

• Proof of Euler's Formula by Julius O. Smith III
• Euler's Formula and Fermat's Last Theorem
• Complex Exponential Function Module by John H. Mathews
• Elements of Algebra
• Visual Representation of Euler's Formula