Gradijent

U vektorskom kalkulusu, gradijent skalarnog polja je vektorsko polje koje pokazuje pravac najvećeg porasta skalarnog polja, te čiji je intenzitet najveća promjena u polju.

Generalizacija gradijenta, za funckije u Banachovom prostoru koje imaju vektorske vrijednosti, je Jakobijanska matrica i determinanta. Ovaj koncept je imenovan po njemačkom matematičaru Carlu Gustavu Jacobu Jacobiju.

Zamislimo sobu u kojoj je temperatura data sa skalarnim poljem ${\displaystyle \phi }$, tako da je u svakoj tački ${\displaystyle (x,y,z)}$ temperatura ${\displaystyle \phi (x,y,z)}$ (pretpostavit ćemo da se temperatura ne mijenja sa vremenom). Tada, u svakoj tački u sobi, gradijent u toj tački pokazat će smjer u kojem temperatura raste najbrže. Intenzitet gradijenta će odrediti kako se brzo temperatura povećava u tom pravcu.

Gradijent se, također, može koristit da se izmjeri kako se skalarno polje mijenja u drugim smjerovima (a ne samo u pravcu najveće promijene) korištenjem skalarnog proizvoda vektora. Zamilimo brdo sa najvećim nagibom od 40%. Ako cesta ide ravno uzbrdo, tada je najstrmiji nagib, također, 40%. Ako, međutim, cesta ide oko brda sa uglom u smjeru uspona (vektor gradijenta), tada će imati plići nagib. Naprimjer, ako je ugao između ceste u pravca uspona, projektovan na horizontalnu ravan, 60°, tada će najstrmiji nagib, koji se proteže duž ceste, biti 20%, štp se dobilo iz proizvoda 40% puta kosinus od 60°.

Gradijent (ili gradijent vektorskog polja) skalarne funkcije ${\displaystyle f(x)}$ po vaktorskoj varijabli ${\displaystyle x=(x_{1},\dots ,x_{n})}$ se označava kao ${\displaystyle \nabla f}$ ili ${\displaystyle {\vec {\nabla }}f}$ gdje je ${\displaystyle \nabla }$ (nabla simbol) označava vektorski diferencijalni operator, nabla operator. Oznaka ${\displaystyle \operatorname {grad} (f)}$ se, također, koristi za označavanje gradijenta.

Prema definiciji, gradijent je vektorsko polje čije su komponente parcijalni izvodi funkcije ${\displaystyle f}$. To jest:

${\displaystyle \nabla f=\left({\frac {\partial f}{\partial x_{1}}},\dots ,{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}\right).}$

Skalarni proizvod ${\displaystyle (\nabla f)_{x}\cdot v}$ gradijenta u tački x sa vektorom v daje izvod po pravcu funkcije f u x u pravcu v.

Gradijent je nerotaciono vektorsko polje, te su linijski integrali kroz gradijentno polje nezavisni i mogu se izračunati pomoći gradijentnog teorema. Suprotno, nerotacijsko vektorsko polje u jednostvno povezanom regionu je uvijek gradijent funkcije.

Oblik gradijenta zavisi od izabranog koordinatnog sistema.

U pravouglim koordinatama, gornji izraz se proširi na

${\displaystyle \nabla f(x,y,z)={\begin{pmatrix}{\frac {\partial f}{\partial x}},{\frac {\partial f}{\partial y}},{\frac {\partial f}{\partial z}}\end{pmatrix}}}$

U cilindričnim koordinatama:

${\displaystyle \nabla f(\rho ,\theta ,z)={\begin{pmatrix}{\frac {\partial f}{\partial \rho }},{{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial f}{\partial \theta }}},{\frac {\partial f}{\partial z}}\end{pmatrix}}}$

(gdje je ${\displaystyle \theta }$ azimutalni ugao, a ${\displaystyle z}$ je osna koordinata).

U sfernim koordinatama:

${\displaystyle \nabla f(r,\theta ,\phi )={\begin{pmatrix}{\frac {\partial f}{\partial r}},{{\frac {1}{r}}{\frac {\partial f}{\partial \theta }}},{{\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial f}{\partial \phi }}}\end{pmatrix}}}$

(gdje je ${\displaystyle \theta }$ azimutalni ugao, a ${\displaystyle \phi }$ je zenitni ugao).

Na primjer, gradijent u pravouglim koordinatama

${\displaystyle f(x,y,z)=\ 2x+3y^{2}-\sin(z)}$

je:

${\displaystyle \nabla f={\begin{pmatrix}{\frac {\partial f}{\partial x}},{\frac {\partial f}{\partial y}},{\frac {\partial f}{\partial z}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{2},{6y},{-\cos(z)}\end{pmatrix}}.}$

Gradijent funkcije ${\displaystyle f}$ iz Euklidovog prostora ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ u ${\displaystyle \mathbb {R} }$ i bilo kojoj tački x₀ u ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ karakteriše najbolju linearnu aproksimaciju od f u x₀. Ta aproksimacija se zapisuje na sljedeći način:

${\displaystyle f(x)\approx f(x_{0})+(\nabla f)_{x_{0}}\cdot (x-x_{0})}$

za ${\displaystyle x}$ koje je blizu ${\displaystyle x_{0}}$, gdje je ${\displaystyle (\nabla f)_{x_{0}}}$ gradijent funkcije f izračunat u ${\displaystyle x_{0}}$, gdje tačka označava da se radi o skalarnom proizvodu ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$.

1. Theresa M. Korn; Korn, Granino Arthur (2000). Mathematical Handbook for Scientists and Engineers: Definitions, Theorems, and Formulas for Reference and Review. New York: Dover Publications. str. 157–160. ISBN 0-486-41147-8.CS1 održavanje: više imena: authors list (link)