Distribució de Marchenko-Pastur

Distribució de Marchenko-Pastur

Tipus	distribució de probabilitat i concepte matemàtic

En la teoria matemàtica de matrius aleatòries, la distribució de Marchenko-Pastur, o llei de Marchenko-Pastur, descriu el comportament asimptòtic de valors singulars de grans matrius aleatòries rectangulars. El teorema rep el nom dels matemàtics soviètics Vladimir Marchenko i Leonid Pastur que van demostrar aquest resultat el 1967.^[1]

Si ${\displaystyle X}$ denota a ${\displaystyle m\times n}$ matriu aleatòria les entrades de la qual són variables aleatòries independents distribuïdes de manera idèntica amb mitjana 0 i variància ${\displaystyle \sigma ^{2}<\infty }$, deixar

${\displaystyle Y_{n}={\frac {1}{n}}XX^{T}}$

i deixar ${\displaystyle \lambda _{1},\,\lambda _{2},\,\dots ,\,\lambda _{m}}$ ser els valors propis de ${\displaystyle Y_{n}}$ (vistes com a variables aleatòries). Finalment, cal considerar la mesura aleatòria^[2]

${\displaystyle \mu _{m}(A)={\frac {1}{m}}\#\left\{\lambda _{j}\in A\right\},\quad A\subset \mathbb {R} .}$

comptant el nombre de valors propis del subconjunt ${\displaystyle A}$ inclòs en ${\displaystyle \mathbb {R} }$.^[3]

Utilitzant la mateixa notació, la funció de distribució acumulada és ^[4]

${\displaystyle F_{\lambda }(x)={\begin{cases}{\frac {\lambda -1}{\lambda }}\mathbf {1} _{x\in [0,\lambda _{-})}+\left({\frac {\lambda -1}{2\lambda }}+F(x)\right)\mathbf {1} _{x\in [\lambda _{-},\lambda _{+})}+\mathbf {1} _{x\in [\lambda _{+},\infty )},&{\text{si }}\lambda >1\\F(x)\mathbf {1} _{x\in [\lambda _{-},\lambda _{+})}+\mathbf {1} _{x\in [\lambda _{+},\infty )},&{\text{si }}0\leq \lambda \leq 1,\end{cases}}}$