Distribució normal esbiaixada

Distribució normal esbiaixada

Funció de densitat de probabilitat
Funció de distribució de probabilitat
Tipus	distribució univariant i distribució de probabilitat contínua
Paràmetres	${\displaystyle \xi \,}$ lloc (real) ${\displaystyle \omega \,}$ scale (positive, real) ${\displaystyle \alpha \,}$ forma (real)
Suport	${\displaystyle x\in (-\infty ;+\infty )\!}$
FD	${\displaystyle \Phi \left({\frac {x-\xi }{\omega }}\right)-2T\left({\frac {x-\xi }{\omega }},\alpha \right)}$ ${\displaystyle T(h,a)}$ is Owen's T function
Moda	${\displaystyle \xi +\omega m_{o}(\alpha )}$
Variància	${\displaystyle \omega ^{2}\left(1-{\frac {2\delta ^{2}}{\pi }}\right)}$
Curtosi	${\displaystyle 2(\pi -3){\frac {\left(\delta {\sqrt {2/\pi }}\right)^{4}}{\left(1-2\delta ^{2}/\pi \right)^{2}}}}$
FGM	${\displaystyle M_{X}\left(t\right)=2\exp \left(\xi t+{\frac {\omega ^{2}t^{2}}{2}}\right)\Phi \left(\omega \delta t\right)}$

En teoria i estadística de probabilitats, la distribució normal esbiaixada és una distribució de probabilitat contínua que generalitza la distribució normal per permetre una asimetria diferent de zero.

Deixar ${\displaystyle \phi (x)}$ denoteu la funció de densitat de probabilitat normal estàndard

${\displaystyle \phi (x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}}$

amb la funció de distribució acumulada donada per

${\displaystyle \Phi (x)=\int _{-\infty }^{x}\phi (t)\ dt={\frac {1}{2}}\left[1+\operatorname {erf} \left({\frac {x}{\sqrt {2}}}\right)\right]}$

on "erf" és la funció d'error. A continuació, la funció de densitat de probabilitat (pdf) de la distribució asiàtica amb el paràmetre ${\displaystyle \alpha }$ està donat per

${\displaystyle f(x)=2\phi (x)\Phi (\alpha x).\,}$

Aquesta distribució va ser introduïda per primera vegada per O'Hagan i Leonard (1976).^[1] Les formes alternatives a aquesta distribució, amb la corresponent funció quantil, han estat donades per Ashour i Abdel-Hamid^[2] i per Mudholkar i Hutson.^[3]

Un procés estocàstic que sustenta la distribució va ser descrit per Andel, Netuka i Zvara (1984). Tant la distribució com els fonaments del seu procés estocàstic eren conseqüències de l'argument de la simetria desenvolupat a Chan i Tong (1986),^[4] que s'aplica a casos multivariants més enllà de la normalitat, per exemple, la distribució t multivariada sesgada i altres. La distribució és un cas particular d'una classe general de distribucions amb funcions de densitat de probabilitat de la forma ${\displaystyle f(x)=2\phi (x)\Phi (x)}$ on ${\displaystyle \phi (\cdot )}$ és qualsevol PDF simètric sobre zero i ${\displaystyle \Phi (\cdot )}$ és qualsevol CDF el PDF del qual és simètric sobre zero.^[5]