Homotopia

Topologian, topologia aljebraikoan bereziki, espazio batetik beste batera doazen bi funtzio jarraitu (bi grafo jarraitu) homotopikoak direla esaten da baldin eta, itsatsi eta moztu gabe, horietako funtzio (grafo) bat besteraino deforma badaiteke. Deformazio horri homotopia^[1] deitzen zaio.

Hitza grekotik dator: Homos = berdin, topos = lekua.

Izan bitez ${\displaystyle X}$ eta ${\displaystyle Y}$ bi espazio topologiko. Orduan, bi aplikazio jarraitu ${\displaystyle f,g:\;X\rightarrow Y}$ homotopoak direla esaten da baldin eta existitzen bada beste aplikazio bat (${\displaystyle H:\;X\times [0,1]\rightarrow Y}$) jarraitua dena eta honako hau betetzen duena:

• ${\displaystyle H(x,0)=f(x)}$

• ${\displaystyle H(x,1)=g(x)}$

${\displaystyle H}$-ren bigarren parametroa denbora gisa hartzen badugu, ${\displaystyle H}$ funtzioa ${\displaystyle f}$-ren ${\displaystyle g}$-rako deformazio jarraitua izango da: 0 unean ${\displaystyle f(x)}$ funtzioa dugu, eta 1 unean, ${\displaystyle g(x)}$.

Homotopiaren ohiko adibide bat:

${\displaystyle H:X\rightarrow \mathbb {R} ^{n}}$, non ${\displaystyle H(x,t)=(1-t)f(x)+tg(x)=f(x)+t{\Big (}g(x)-f(x){\Big )}}$ den, ${\displaystyle f(x)}$ eta ${\displaystyle g(x)}$ jarraituak diren edozein funtzio izanik.

Izan ere, ${\displaystyle t=0}$ balioan ${\displaystyle H}$-k ${\displaystyle f(x)}$ balio du, eta ${\displaystyle t=1}$ balioan, berriz, ${\displaystyle g(x)}$. Gainera, adibide hau gehiago orokortu daiteke, ${\displaystyle H:X\rightarrow Y}$ hartuz, ${\displaystyle Y\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ azpiespazio konbexua izanik. Homotopia honi homotopia lineala deritzo.

• Bi funtzio jarraitu, ${\displaystyle f}$ eta ${\displaystyle g}$, homotopoak badira ${\displaystyle H}$ homotopiaren bidez, ${\displaystyle H}$-k deskribatzen dituen bitarteko funtzio guztiak jarraituak izango dira.

• Bi funtzio, ${\displaystyle f}$ eta ${\displaystyle g}$, homotopoak direla adierazteko, ${\displaystyle f\simeq g}$ idazten da, hau da, homotopoak izatea baliokidetasun-erlazioa da ${\displaystyle X}$-tik ${\displaystyle Y}$-ra doazen funtzio jarraitu guztien multzoan. Erlazio honen baliokidetasun-klaseei homotopia klaseak deritze.

• Homotopiak konposaketarekin bateragarriak dira hurrengo eran: ${\displaystyle f_{1},g_{1}:X\rightarrow Y}$ homotopoak badira, eta ${\displaystyle f_{2},g_{2}:Y\rightarrow Z}$ homotopoak badira, orduan haien konposaketak ${\displaystyle f_{1}\circ f_{2}}$ eta ${\displaystyle g_{1}\circ g_{2}}$ ere homotopoak izango dira.
• Izan bitez ${\displaystyle A\subseteq \mathbb {C} ,\;f:A\rightarrow \mathbb {C} }$ funtzio analitiko bat ${\displaystyle A}$-n, eta ${\displaystyle \gamma _{1},\gamma _{2}:[a,b]\rightarrow A}$ bi kurba itxi, zatika deribagarriak eta deribatu jarraituekin (hots, zatika ${\displaystyle C^{1}}$). Horrela, ${\displaystyle \gamma _{1}}$ eta ${\displaystyle \gamma _{2}}$ ${\displaystyle A}$-n homotopikoak badira, orduan: ${\displaystyle \int _{\gamma _{1}}f(z)dz=\int _{\gamma _{2}}f(z)dz}$. Hau da, funtzio batek ibilbide baten gainean eragindako efektu totala ez da aldatzen kurba homotopikoetan, bereziki, kurba hori espazioan zehar mugitzen bada, translazio hori homotopia bat baita.

Lehenengo adibidea

Izan bitez ${\displaystyle A}$ eta ${\displaystyle B}$ espazio bateko bi puntu eta ${\displaystyle f}$ eta ${\displaystyle g}$ bi puntu horien arteko bi ibilbide ezberdin. Egoera horretan, ${\displaystyle H}$ homotopia baten bitartez, ${\displaystyle f}$-tik ${\displaystyle g}$-ra pasa gaitezke ibilbidea itsatsi eta moztu gabe.

${\displaystyle H}$ homotopia horren adierazpena hurrengoa litzateke: ${\displaystyle H(x,t)=(1-t)f(x)+tg(x)}$, non ${\displaystyle x\in X}$ eta ${\displaystyle t\in [0,1]}$ diren.

Bigarren adibidea

Izan bedi ${\displaystyle R}$ erradioko ${\displaystyle C}$ zirkunferentzia bat. Orduan, ${\displaystyle C}$ zirkunferentzia horren erradio bikoitza duen ${\displaystyle C'}$ zirkunferentzia baterako transformazioa homotopia sinple bat izango litzateke.

${\displaystyle C}$-ri dagokion adierazpena hauxe da: ${\displaystyle f(x)=(Rcos(2\pi x),Rsin(2\pi x))}$, non ${\displaystyle x\in [0,1]}$ den.

Beraz, ${\displaystyle C'}$ zirkunferentziaren adierazpena, ${\displaystyle C}$-ren erradio bikoitza duenez, ${\displaystyle g(x)=(2Rcos(2\pi x),2Rsin(2\pi x))}$ da, ${\displaystyle x\in [0,1]}$ izanik.

Azkenik, ohartu ${\displaystyle g(x)=2f(x)}$ dela eta, hori dela-eta, ${\displaystyle f}$-tik ${\displaystyle g}$-rako homotopia hurrengoa izango da: ${\displaystyle H(x,t)=(1+t)f(x)}$, non ${\displaystyle x\in X}$ eta ${\displaystyle t\in [0,1]}$ diren. Ohartu ${\displaystyle H}$-k hurrengoa betetzen duela:

${\displaystyle H(x,0)=f(x)}$,

${\displaystyle H(x,1)=2f(x)=g(x)}$.

Homotopiek erabilera anitz dituzte eta, aurretik aipatutako kasuetan, hurrengo erabilerak eman ahal zaizkie:

Lehenengo erabilera (lehenengo adibideari dagokiona)

Errepide-sareen arloan, homotopiak erabilgarriak izan daitezke baldin eta dagoeneko eginda dagoen bide baten ibilbidea aldatu nahi bada.

Izan bitez ${\displaystyle A}$ eta ${\displaystyle B}$ bi herri eta ${\displaystyle f}$ eta ${\displaystyle g}$ bi funtzio. Demagun lehenengoaren (hots, ${\displaystyle f}$-ren) grafoak ${\displaystyle A}$ eta ${\displaystyle B}$ herrien arteko errepidea irudikatzen duela. Orain, demagun errepide hori desbideratu nahi dela, eta bide berriak ${\displaystyle g}$ funtzioaren grafoaren irudi berdina izatea nahi dela.

Kasu honetan, hau izango da defini daitekeen homotopietariko bat: ${\displaystyle H(x,t)=(1-t)f(x)+tg(x)}$ non ${\displaystyle x\in X}$ eta ${\displaystyle t\in [0,1]}$ diren.

Hortaz, ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle f}$-tik ${\displaystyle g}$-rako transformazioa dela esan daiteke.

Bigarren erabilera (bigarren adibideari dagokiona)

Izan bedi, baldintza arruntetan, ${\displaystyle R=1}$ unitateko erradioa duen ${\displaystyle C}$ eraztun elastikoa eta demagun eraztun horren tamaina bikoiztu nahi dugula, beti ere eraztun baten forma mantenduz, hau da, proportzioa mantenduz.

Demagun ${\displaystyle C}$ eraztunak ${\displaystyle f(x)=(cos(2\pi x),sin(2\pi x))}$-ren adierazpena duela, non ${\displaystyle x\in [0,1]}$ den.

Ohartu ${\displaystyle C}$-ren tamaina bikoitza duen ${\displaystyle C'}$ eraztun batek adierazpen hau duela: ${\displaystyle g(x)=2f(x)=(2cos(2\pi x),2sin(2\pi x))}$, non ${\displaystyle x\in [0,1]}$ den. Orduan, ${\displaystyle C}$-tik ${\displaystyle C'}$-rako transformazioa hurrengoa da:

${\displaystyle H(x,t)=(1+t)f(x)}$, non ${\displaystyle x\in X}$ eta ${\displaystyle t\in [0,1]}$ diren.

Izan bitez ${\displaystyle \lambda _{0},\lambda _{1}:[a,b]\rightarrow X}$ ibilbideak, non ${\displaystyle \lambda _{0}(a)=\lambda _{1}(a)=x_{1}}$ eta ${\displaystyle \lambda _{0}(b)=\lambda _{1}(b)=x_{2}}$ diren. Orduan, baldin eta bi ibilbideen arteko eremuan zulorik ez badago, ${\displaystyle \lambda _{1}}$-ren ${\displaystyle \lambda _{2}}$-rako ibilbideen homotopia ${\displaystyle H:[a,b]\times [0,1]\rightarrow X}$ funtzioa da, non ${\displaystyle t\in [0,1]}$ guztietarako ${\displaystyle H(0,t)=x_{1}}$ eta ${\displaystyle H(1,t)=x_{2}}$ betetzen den.

${\displaystyle \lambda _{1}}$ ibilbidearen ${\displaystyle \lambda _{2}}$ ibilbiderako homotopia existitzen bada, ${\displaystyle \lambda _{0}\simeq _{c}\lambda _{1}}$ bezala denotatuko da eta baliokidetasun-erlazioa izango da, homotopia arrunten kasuan bezala.

• Izan bitez ${\displaystyle \lambda ,\,\lambda ',\,\mu ,\,\mu '}$ bideak, ${\displaystyle X}$-n definituta, ${\displaystyle \lambda \simeq _{c}\lambda ',\;\mu \simeq _{c}\mu '}$ eta ${\displaystyle \lambda (1)=\mu (0)}$ betetzen direlarik. Orduan, ${\displaystyle \lambda \cdot \mu \simeq _{c}\lambda '\cdot \mu '}$.

• Ibilbideak

Izan bitez ${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}$ eremua eta ${\displaystyle \sigma :\;[a,b]\rightarrow \Omega }$ ibilbide itxia. Orduan, esaten da ${\displaystyle \sigma }$ ibilbidea zerora homotopoa dela ${\displaystyle \Omega }$ multzoan, existitzen badira ${\displaystyle x_{0}\in \Omega }$ eta ${\displaystyle H:\;[a,b]\times [0,1]\rightarrow \Omega }$ funtzio jarraitua, zeinetarako:

${\displaystyle H(s,0)=\sigma (s),\;H(s,1)=x_{0},\;\forall s\in [a,b],\;H(a,t)=H(b,t),\;\forall t\in [0,1]}$ betetzen den.

Hitzekin azalduta:

${\displaystyle \sigma }$ ibilbidea zerora homotopoa dela esaten da, baldin eta existitzen badira ${\displaystyle x_{0}\in \Omega }$ puntua eta ${\displaystyle H:\;[a,b]\times [0,1]\rightarrow \Omega }$ funtzio jarraitua, zeinetarako jurrengo bi baldintzak betetzen diren:

1. Deformazioaren momentu orotan ibilbidea itxi mantentzen bada: ${\displaystyle H(a,t)=H(b,t),\;\forall t\in [0,1]}$. Edo, matematikoki berdina dena, ${\displaystyle t\in [0,1]}$ guztietarako ${\displaystyle \sigma _{t}(s)=H(s,t)}$ ibilbide itxia bada. Baldintza honek ${\displaystyle H}$ homotopia izatea bermatzen du.
2. Ibilbidea era jarraituan puntu bateraino (${\displaystyle \Omega }$-tik atera gabe) deforma badaiteke: ${\displaystyle H(s,0)=\sigma (s),\;H(s,1)=x_{0}}$.

${\displaystyle n=2}$ bada, ibilbide itxi bat zerora homotopoa izango da baldin eta barruan geratzen den ${\displaystyle \Omega }$-ren eremua zulorik ez badu.

Aplikazioak/funtzioak

${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$ aplikazioa zerora homotopoa dela esaten da baldin eta ${\displaystyle x\in X}$ guztiak ${\displaystyle y_{0}\in Y}$ finko bateraino eramaten dituen aplikazio konstante batera homotopoa bada.

Gaur egun, orokorrean, mapa bat zerora homotopoa den ala ez jakitea nahiko zaila da, eta ez dago hori egiaztatzeko erraza den irizpiderik. Hori dela eta, kohomologian oinarritutako egitura gehigarriak eta irizpide diferentzialak erabiltzen dira.

Cauchyren teorema integrala.

Izan bitez:

• ${\displaystyle A\subseteq \mathbb {C} }$,
• ${\displaystyle f:A\rightarrow \mathbb {C} }$ funtzio analitikoa ${\displaystyle A}$-n,
• ${\displaystyle \gamma :[a,b]\rightarrow A}$ kurba itxia eta zatika ${\displaystyle C^{1}}$, hots, bere deribatua zatika jarraitua ${\displaystyle [a,b]}$-n.

Horrela, ${\displaystyle \gamma }$ kurba ${\displaystyle A}$-n zerora homotopoa bada, hots, puntu batera homotopoa bada, orduan, ${\displaystyle \int _{\gamma }f(z)dz=0}$. Izan ere, ${\displaystyle \gamma }$ kurba ${\displaystyle x_{0}}$ puntu batera homotopoa bada, orduan, kurba konstante batera homotopoa izango da (${\displaystyle \gamma (t)\simeq _{c}\gamma _{1}(t)=x_{0}\;\forall t}$); eta, ondorioz, aurretik azaldutako propietateagatik,

Izan bitez ${\displaystyle f:[a,b]\subset \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {S} ^{1}}$ kurba jarraitu eta itxi baten parametrizazioa, ${\displaystyle \rho :\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {S} ^{1}}$ estaltze aplikazioa, non ${\displaystyle \rho (x)=(\cos(x),\sin(x))}$ den, eta ${\displaystyle {\tilde {f}}:[a,b]\subset \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$ lifting-a, non ${\displaystyle f={\tilde {f}}\circ \rho }$ den.

Horrela, ${\displaystyle f}$-ren gradua (${\displaystyle deg(f)}$ moduan adieraziko duguna) ${\displaystyle (2\pi )^{-1}({\tilde {f}}(b)-{\tilde {f}}(a))}$ bada, orduan ${\displaystyle f}$ -ren homotopoa den edozein ${\displaystyle g:[a,b]\subset \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} ^{2}}$ kurbaren gradua ${\displaystyle f}$-ren berdina izango da (${\displaystyle deg(g)=deg(f)}$).

1. ↑ «ZT Hiztegi Berria» zthiztegia.elhuyar.eus (kontsulta data: 2025-11-27).

Invitación a la teoría de Homotopía - Angélica M. Osorno: https://www.usfq.edu.ec/sites/default/files/2021-04/osorno.pdf

Notas del curso Variable Compleja 1 de la facultad de ciencias UNAM - Esteban Rubén Hurtado Cruz & Ofelia Cepeda Camargo & Selma Fernanda Espinosa Guevara: https://sistemas.fciencias.unam.mx/~erhc/variable_compleja_2021_1/homotopia_2022.pdf