عملگر نردبانی

مکانیک کوانتوم
${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\psi (t)\rangle ={\hat {H}}|\psi (t)\rangle }$ معادله شرودینگر
آشنایی واژه‌نامه • تاریخچه
پیش‌زمینه نشان‌گذاری برا-کت مکانیک کلاسیک هامیلتونی (مکانیک کوانتومی) تداخل امواج نظریه کوانتومی قدیمی
مفاهیم بنیادی همدوسی ناهمدوسی اصل مکملیت تراز انرژی درهم‌تنیدگی کوانتومی هامیلتونین اصل عدم قطعیت حالت پایه تداخل امواج اندازه‌گیری در مکانیک کوانتومی عدم موضعیت مشاهده‌پذیری عملگر (فیزیک) کوانتوم نوسان کوانتومی کف کوانتومی اثر کاسیمیر عدد کوانتومی نویز کوانتومی مکانیک کوانتومی حالت کوانتومی سیستم کوانتومی دورنوردی کوانتومی کیوبیت اسپین برهم‌نهی کوانتومی Symmetry (Spontaneous) symmetry breaking حالت خلاء انتشار موج تابع موج فروریزش تابع موج دوگانگی موج و ذره موج مادی
آزمایش‌ها افشار نامعادله بل دیویسون گرمر انتخاب تاخیردار دوشکاف فرانک هرتز ماخ-زندر بمب خنثی‌کن الیتزور فایدمن آزمایش پوپر پاک‌کن کوانتومی گربه شرودینگر اشترن-گرلاخ آزمایش انتخاب تاخیردار ویلر
فرمول‌بندی فرمول‌بندی ریاضی مکانیک کوانتم تصویر هایزنبرگ تصویر دیراک مکانیک ماتریسی تصویر شرودینگر فرمول‌بندی انتگرال مسیر فرمول‌بندی فضای فاز
معادلات معادله دیراک معادله کلاین-گوردون معادله پائولی فرمول ریدبرگ معادله شرودینگر
تفسیرها تفسیرهای مکانیک کوانتومی خودآگاهی باعث فروریزش تابع موج Consistent histories تفسیر کپنهاگی مکانیک بوهمی Ensemble تئوری متغیر پنهان دنیاهای چندگانه Objective collapse Pondicherry منطق کوانتومی Relational مکانیک کوانتومی تصادفی Transactional
عناوین پیشرفته آشوب کوانتومی نظریه میدان‌های کوانتومی نظریه اطلاعات کوانتومی نظریه پراکندگی Fractional quantum mechanics
دانشمندان بل بلاکت بوگولیوبوف بوهم بور باردین برن بوز لویی دوبروی آرتور هالی کامپتون لئون نیل کوپر پل دیراک فریمن دایسون کلینتون دیویسون دوارته پیتر دبای ارنفست آلبرت اینشتین هیو اورت فوک انریکو فرمی ریچارد فاینمن گوستاو هرتز ورنر کارل هایزنبرگ داوید هیلبرت جردن کلاوس فون کلیتسینگ پولیکارپ کوش کارمرز جان فون نویمان ولفگانگ پائولی ویلیس اوژن لمب ماکس فون لائو رابرت لافلین هنری موزلی رابرت میلیکان هایک کامرلینگ اونس ماکس پلانک سی وی رامان یوهانس ریدبرگ عبدالسلام سیمونز اروین شرودینگر هورست لودویگ اشتورمر ویلیام شاکلی جان رابرت شریفر کلیفورد گلنوود شال آرنولد زومرفلد جرج پاجت تامسون دانیل چی تسوئی سین‌ایترو تومونوجا هرمان ویل وارد ویلهلم وین یوجین ویگنر پیتر زیمان تسایلینگر
ن ب و

در جبر خطی و مکانیک کوانتومی، عملگر بالابرنده (به انگلیسی: raising operator) یا عملگر پایین‌آورنده (به انگلیسی: lowering operator) که در مجموع عملگر نردبانی (انگلیسی: Ladder operator) خوانده می‌شوند عملگرهایی هستند که ویژه‌مقدار یک عملگر دیگر را افزایش یا کاهش می‌دهند. گاهی در فیزیک این عملگرها عملگر خلق و عملگر فنا نیز خوانده می‌شوند. از مشهورترین کاربردهای این عملگرها در مکانیک کوانتومی می‌توان به تحلیل نوسانگر هماهنگ کوانتومی و تکانه زاویه‌ای اشاره کرد.

اولین بار دیراک این عملگرها را ابداع و از این روش برای تحلیل تکانه‌ی زاویه‌ای و نشان دادن اینکه عدد کوانتومی تکانه‌ی زاویه‌ای کل باید مضربی از ${\displaystyle \hbar /2}$ باشد استفاده کرد.^[۱]

دو عملگر X و N را با فرض ${\displaystyle [N,X]=cX,\quad }$ که در آن c یک اسکالر است در نظر می‌گیریم.اگر ${\displaystyle {|n\rangle }}$ یک ویژه‌حالت N با معادله ویژه‌مقداری ${\displaystyle N|n\rangle =n|n\rangle ,\,}$ باشد، در آن صورت عملگر X به گونه‌ای بر روی ${\displaystyle \scriptstyle {|n\rangle }}$ عمل می‌کند که ویژه‌مقدار را به مقدار c جابه‌جا کند:

${\displaystyle {\begin{aligned}NX|n\rangle &=(XN+[N,X])|n\rangle \\&=XN|n\rangle +[N,X]|n\rangle \\&=Xn|n\rangle +cX|n\rangle \\&=(n+c)X|n\rangle .\end{aligned}}}$

به عبارت دیگر، اگر ${\displaystyle {|n\rangle }}$ یک ویژه‌حالت N با ویژه‌مقدار n باشد در آن صورت ${\displaystyle \scriptstyle {X|n\rangle }}$ یک ویژه‌حالت N با ویژه‌مقدار n + c است. در اینجا اگر c حقیقی و مثبت باشد X یک عملگر بالابرنده یا عملگر خلق برای N است و اگر c حقیقی و منفی باشد X یک عملگر پایین‌آورنده یا عملگر فنا برای N است.

اگر N یک عملگر هرمیتی باشد، در آن صورت c باید حقیقی باشد و الحاقی هرمیتی (Hermitian adjoint) آن در رابطه‌ی :${\displaystyle [N,X^{\dagger }]=-cX^{\dagger }.\quad }$ صدق می‌کند. به‌خصوص، اگر X یک عملگر پایین‌آورنده برای N باشد، X^† یک عملگر بالابرنده برای N است و بالعکس.

یکی از کاربردهای عملگرهای خلق و فنا، تحلیل نوسانگر هماهنگ است. برای این کار، عملگرهای خلق و فنا به صورت زیر تعریف می‌شوند:

${\displaystyle {\begin{aligned}a&={\sqrt {m\omega \over 2\hbar }}\left({\hat {x}}+{i \over m\omega }{\hat {p}}\right)\\a^{\dagger }&={\sqrt {m\omega \over 2\hbar }}\left({\hat {x}}-{i \over m\omega }{\hat {p}}\right)\end{aligned}}}$

در این صورت، نمایش عملگرهای مکان و تکانه به صورت زیر درمی‌آید:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {x}}&={\sqrt {{\frac {\hbar }{2}}{\frac {1}{m\omega }}}}(a^{\dagger }+a)\\{\hat {p}}&=i{\sqrt {{\frac {\hbar }{2}}m\omega }}(a^{\dagger }-a)~.\end{aligned}}}$

(عملگر a هرمیتی نیست، زیرا الحاقی آن a^† با خودش برابر نیست.) در این صورت، با اعمال این عملگرها روی ویژه‌حالت‌های انرژی |n⟩، ویژه‌مقدارهای انرژی به صورت زیر تغییر می‌کنند:

${\displaystyle {\begin{aligned}a^{\dagger }|n\rangle &={\sqrt {n+1}}|n+1\rangle \\a|n\rangle &={\sqrt {n}}|n-1\rangle .\end{aligned}}}$

بنابراین a^† یک کوانتوم انرژی به انرژی حالت اضافه و a به همان میزان انرژی آن را کاهش می‌دهد. به همین دلیل به این عملگرها، عملگر خلق و فنا نیز گفته می‌شود.^[۲]

• مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «Ladder operator». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی، بازبینی‌شده در ۲۴ مارس ۲۰۱۸.