Un nombre hautement composé supérieur est un entier naturel non nul qui a plus de diviseurs que n'importe quel autre entier relativement à une puissance du nombre lui-même. Cette définition a été formulée par Srinivasa Ramanujan en 1915.

Il s'agit d'une condition plus restrictive que celle d'un nombre hautement composé défini comme un entier strictement positif qui a strictement plus de diviseurs que les nombres qui le précèdent.

Un nombre ${\displaystyle n}$ est dit hautement composé supérieur, s'il existe un réel positif ${\displaystyle \lambda }$ tel que :

• pour tout entier naturel ${\displaystyle k}$ inférieur à ${\displaystyle n}$ : ${\displaystyle {\frac {\sigma _{0}(n)}{n^{\lambda }}}\geq {\frac {\sigma _{0}(k)}{k^{\lambda }}}}$
• pour tout entier naturel ${\displaystyle k}$ strictement supérieur à ${\displaystyle n}$ : ${\displaystyle {\frac {\sigma _{0}(n)}{n^{\lambda }}}>{\frac {\sigma _{0}(k)}{k^{\lambda }}}}$

où ${\displaystyle \sigma _{0}}$ est la fonction "nombre de diviseurs" qui à tout entier naturel non nul associe le nombre de ses diviseurs.

Les dix premiers nombres hautement composés supérieurs sont les suivants :

On remarque que les 15 premiers nombres hautement composés supérieurs c'est-à-dire 2, 6, 12, 60, 120, 360, 2520, 5040, 55440, 720720, 1441440, 4324320, 21621600, 367567200 et 6983776800 sont aussi les 15 premiers nombres colossalement abondants.

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Tout nombre hautement composé supérieur est aussi un nombre hautement composé, la réciproque n'étant pas vraie.

Les premiers nombres hautement composés supérieurs ont souvent été utilisés comme base de système de numération, du fait de leur important nombre de diviseurs par rapport à leur taille. On peut citer :

• le système binaire : base 2
• le système sénaire : base 6
• le système duodécimal : base 12
• le système sexagésimal : base 60

En outre 360 est le nombre de degrés dans un tour complet.

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Superior highly composite number » (voir la liste des auteurs).

• Chapitre IV : «Superior Highly Composite Numbers», p. 389 et suivantes dans :

  Srinivasa Ramanujan, « Highly composite numbers », Proceedings of the London Mathematical Society, London Mathematical Society, vol. 14, n^o 2,‎ 1915, p. 347–409 (DOI 10.1112/plms/s2_14.1.347, JFM 45.1248.01, lire en ligne) Réimp. dans Collected Papers (Ed. G. H. Hardy et al.), New York: Chelsea, pp. 78–129, 1962

• Table des diviseurs

• Arithmétique et théorie des nombres