一般相対性理論
G
μ
ν
+
Λ
g
μ
ν
=
8
π
G
c
4
T
μ
ν
{\displaystyle G_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }={\tfrac {8\pi G}{c^{4}}}T_{\mu \nu }}
アインシュタイン方程式
入門 数学的定式化 関連書籍
カー・ニューマン解 （カー・ニューマンかい、英語 : Kerr‐Newman metric、Kerr‐Newman solution ）あるいはカー・ニューマン・ブラックホール解 とは、一般相対性理論 のアインシュタイン方程式 の厳密解の一つで、回転する電荷を帯びたブラックホール を表現する軸対称時空の計量 (metric)である。このため、カー・ニューマン計量 とも呼ばれる。ニュージーランドの数学者ロイ・カー (Roy Kerr)によるカー解 の発見の2年後の1965年に、アメリカのニューマン (Ezra T. Newman （英語版 ） 質量 ・角運動量 ・電荷 の三つのパラメータを持つブラックホール解として、一般相対性理論の描く時空の姿の理解に広く使われている。
カー・ニューマン計量は、次のように書ける。
d
s
2
=
−
Δ
ρ
2
(
d
t
−
a
sin
2
θ
d
ϕ
)
2
+
sin
2
θ
ρ
2
[
(
r
2
+
a
2
)
d
ϕ
−
a
d
t
]
2
+
ρ
2
Δ
d
r
2
+
ρ
2
d
θ
2
{\displaystyle ds^{2}=-{\frac {\Delta }{\rho ^{2}}}\left(dt-a\sin ^{2}\theta d\phi \right)^{2}+{\frac {\sin ^{2}\theta }{\rho ^{2}}}\left[\left(r^{2}+a^{2}\right)d\phi -{a}dt\right]^{2}+{\frac {\rho ^{2}}{\Delta }}dr^{2}+\rho ^{2}d\theta ^{2}}
ここで、
Δ
≡
r
2
−
2
M
r
+
a
2
+
Q
2
{\displaystyle \Delta \equiv r^{2}-2Mr+a^{2}+Q^{2}}
ρ
2
≡
r
2
+
a
2
cos
2
θ
{\displaystyle \rho ^{2}\equiv r^{2}+a^{2}\cos ^{2}\theta }
a
≡
J
M
{\displaystyle a\equiv {\frac {J}{M}}}
であり、
M
{\displaystyle M\,}
J
{\displaystyle J\,}
Q
{\displaystyle Q\,}
である。ここでは、光速と万有引力定数を1とする幾何学単位系 （
c
=
G
=
1
{\displaystyle c=G=1\,}
電荷がゼロ (
Q
=
0
{\displaystyle Q=0\,}
カー解 を再現する。角運動量がゼロ (
J
=
0
{\displaystyle J=0\,}
ライスナー・ノルドシュトロム解 (Reissner-Nordstrom解) を再現する。そして、電荷も角運動量もゼロの場合、シュヴァルツシルト解 (Schwarzschild解) を再現する。カー解と同様に、この計量がブラックホールとして理解されるのは、パラメータが
a
2
+
Q
2
≤
M
2
{\displaystyle a^{2}+Q^{2}\leq M^{2}\,}
カー解 の項を参照されたい。
ブラックホール脱毛定理 (no-hair theorem) において、すべての現実的なブラックホールは、いずれ、角運動量・質量・電荷の3つの物理量のみを持つカー・ニューマンブラックホールに落ち着くと考えられている。また、「アインシュタイン・マクスウェル方程式での軸対称定常解は、カー・ニューマン解に限られる」というブラックホール唯一性定理 (uniqueness theorem) も存在する。
Newman, E. T.; Couch, R.; Chinnapared, K.; Exton, A.; Prakash, A.; Torrence, R. (1965). “Metric of a Rotating, Charged Mass.”. J. Math. Phys. 6 : 918-919. doi :10.1063/1.1704351 .
![{\displaystyle ds^{2}=-{\frac {\Delta }{\rho ^{2}}}\left(dt-a\sin ^{2}\theta d\phi \right)^{2}+{\frac {\sin ^{2}\theta }{\rho ^{2}}}\left[\left(r^{2}+a^{2}\right)d\phi -{a}dt\right]^{2}+{\frac {\rho ^{2}}{\Delta }}dr^{2}+\rho ^{2}d\theta ^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b19eb276b06a5402ee0f4cdd404d7d448092835)
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