ゾーン多面体

ゾーン多面体（ゾーンためんたい、英: Zonohedron）とは、三次元の凸多面体において、向かいあった辺同士が全て平行になっている偶数多角形のみで構成されている立体である。平行な辺を共有する隣り合う面を辿っていくと立体を一周する帯（ゾーン）が見て取れることが、この名前の由来である。コクセターはゾーン多面体の理論はロシアの偉大な結晶学者フェドロフによる、と述べている。^[1]

主なものでは、

正多面体（プラトンの立体）からは、

• 立方体

半正多面体（アルキメデスの立体）からは、

• 切頂八面体

• 斜方切頂立方八面体
• 斜方切頂二十・十二面体
• 正2n角柱（底面が偶数多角形のもの）

があげられる。そのほか、

• 切稜立方体

や各種菱形多面体もゾーン多面体である。渡辺泰成と別宮利昭は、正多面体や半正多面体、あるいはそれらの複合多面体をもとに、重心から頂点への基本ベクトルを用いて16次元立方体の三次元投影図形までの各種ゾーン多面体を構成した。^[2]

平行多面体 (Parallelohedra) とは、ゾーン多面体のうち単独で平行移動のみによる空間充填が可能な立体のことであり、以下の5種類しかないことをロシアの結晶学者E.S.フェドロフが1885年に証明した。^[3]

1933年にロシアの数学者ドロネーはより簡単なアプローチでこれを証明した。コクセターはH.S.ホワイトの投影図法に基づいて、１つの交点に交わる直線は３本以下で、１本の直線上の交点の数は３以下という条件を導き、フェドロフの５種類に証明を与えた。

• 平行六面体
• 平行六角柱
• 菱形十二面体
• 長菱形十二面体
• 切頂八面体

表面に対角線比が黄金比の菱形のみをもつ等面菱形多面体は次の5種類であり、コクセターはこれを黄金等稜ゾーン多面体と呼んだ。

• 尖った菱形六面体
• 平たい菱形六面体

• 菱形十二面体第2種
• 菱形二十面体
• 菱形三十面体

以上の5種類の菱形多面体のみで空間を非周期的に充填することができる。その二次元投影図はペンローズ・タイルと呼ばれ、3種類がある。

対角線比が第二黄金比1:2.618の菱形と白銀比1:1.414の菱形の2種類をもつ菱形多面体には、

面の数が6,12,20,30,42,56,72,90のものがあり、それぞれは三次元から十次元までの立方体の三次元投影図形の外殻となってる。^[4]

コクセターは、任意の偶数正角柱あるいは奇数正反角柱の重心と天面の各頂点、重心と底面の各頂点を結ぶベクトルの組を両極として、菱形面のみから構成されるゾーン多面体をポーラーゾーン多面体と呼んだ。角柱の天地面を正ｎ角形とすると、一つの極の周りをｎ枚の等しい菱形のセットが取り巻き、つぎに別のｎ枚の菱形のセットが取り巻くというようにして、合計n-1セットの菱形の側面が反対の極に至るまで埋めることになる。この族のホワイト・コクセターダイヤグラムは、n角形の各辺を両方に延長した直線による星形を示す。

このポーラーゾーン多面体の場合の極を2ｎ角形面に置き換えると、角柱の側面を２枚の2ｍ(ｍ≦ｎ)角形と複数の菱形で取り囲んだプリズムゾーン多面体とでも呼ぶべき一連のゾーン多面体の族となる。菱形面の枚数は、側面の２ｍ角形が天地面の２ｎ角形と頂点を共有する場合は２ｍｎ枚、側面の２ｍ角形が天地面の２ｎ角形と辺を共有する場合は２(ｍ－１)(ｎ－１)枚である。[1]　ホワイト・コクセターダイヤグラムは、前者はm本の扇とn本の扇による交差を、後者はm本の扇とn本の扇が１本の直線を共有する交差を示す。

三次元空間のゾーン多面体は、高次元の立方体を三次元空間に投影して得られる図形のうちの特定のものの外殻と一致する。このことを最初に論じたのは、コクセターの『正多胞体』である。その中で彼は、1934年に敷物商・ドンチャン(Paul S. Donchan)[2] が発表した四次元多胞体の三次元投影模型から着想を得たことを模型の写真とともに紹介している。^[5]　またコクセターは、ゾーン多面体のゾーンの数を数えるための実用的な方法は、任意の頂点から反対側の頂点（対蹠点）へ移動するために必要な最小の辺数を数えることであることを示した(1962年)。^[6]

ホワイトとコクセターのダイヤグラムでは、ゾーンを直線であらわし、p本の直線が交わる交点は２p角形面を示す。q本の線分及び半直線で仕切られる領域はq価の頂点を表す。そのさい同一直線上にある２つの半直線は１つの線分と同価とみなす。以下の表には、６次までのすべてのゾーン多面体の類型を示し、７次以降は代表的なもののみを示した。

ゾーン多面体	投影図	辺数	平行な辺の グループ数	対応 する 高次元 立方体 の次数	ホワイト・コクセター ダイヤグラム [3]	面数	頂点数
平行六面体		12	4本組×3	3		四角形６枚	3価８
六角柱		18	4本組×3 6本組×1	4		六角形２枚 四角形６枚	3価12
菱形十二面体		24	6本組×4	4		四角形１２枚	3価８ ４価６
八角柱		24	4本組×4 8本組×1	5		八角形２枚 四角形８枚	3価１６
長菱形十二面体		28	4本組×1 6本組×4	5		六角形４枚 四角形８枚	3価１６ 4価２
菱形二十面体		40	8本組×5	5		四角形２０枚	3価１０ 4価１０ 5価２
菱形十二面四・六角柱		34	6本組×3 8本組×2	5		六角形２枚 四角形１４枚	3価１２ 4価８
十角柱		30	4本組×5 10本組×1	6		十角形２枚 四角形１０枚	3価２０
菱形十二面八・六角柱		38	4本組×1 6本組×3 8本組×2	6		八角形２枚 六角形２枚 四角形１２枚	3価２０ 4価４
菱形十六面八・四角柱		44	6本組×4 10本組×2	6		八角形２枚 四角形１８枚	3価１６ 4価１０
菱形十八面六・六角柱		48	8本組×6	6		六角形４枚 四角形１８枚	3価１６ 4価１２
菱形二十四面六角柱		54	8本組×3 10本組×3	6		六角形２枚 四角形２４枚	3価１８ 4価６ 5価６
切頂八面体		36	6本組×6	6		六角形８枚 四角形６枚	3価２４
極菱形三十面体		60	10本組×6	6		四角形３０枚	3価１２ 4価１８ ６価２
ホワイト菱形三十面体Ｂ		60	10本組×6	6		四角形３０枚	3価１２ 4価１６ 5価４
ホワイト菱形三十面体C		60	10本組×6	6		四角形３０枚	3価１４ 4価１２ 5価６
菱形三十面体		60	10本組×6	6		四角形３０枚	3価２０ 5価１２
長菱形三十面体		72	8本組×1 10本組×4 12本組×2	7		六角形４枚 四角形３０枚	3価２４ 4価８ 5価８
切稜立方体		48	6本組×4 8本組×3	7		六角形１２枚 四角形６枚	3価３２
長切稜立方体		60	6本組×2 8本組×6	8		八角形２枚 六角形１２枚 四角形８枚	３価４０
長々菱形三十面体		84	8本組×2 10本組×2 12本組×4	8		八角形２枚 六角形４枚 四角形３２枚	3価２８ 4価１６ 5価４
大菱形立方八面体		72	8本組×9	9		八角形６枚 六角形８枚 四角形１２枚	３価４８
大菱形四十二面体		96	8本組×3 12本組×6	9		八角形６枚 四角形３６枚	3価３２ 4価２４
小菱形切頂八面体		120	12本組×10	10		六角形２０枚 四角形３０枚	3価４８ 4価２４
菱形九十面体		180	18本組×10	10		四角形９０枚	3価６０ ５価１２ ６価２０
菱形五十面十二・十二角柱		124	4本組×1 12本組×10	11		十二角形４枚 四角形５０枚	3価４０ 4価３２
菱形百二面体		216	18本組×12	12		八角形６枚 四角形９６枚	3価７２ 4価２４ ６価２０
菱形百三十二面体		264	22本組×12	12		四角形１３２枚	３価５６ ４価４８ ５価２４ ８価６ 3価４８ 4価５４ ５価２４ ６価８
大菱形切頂八面体		144	８本組×3 12本組ｘ10	13		八角形１８枚 六角形８枚 四角形２４枚	３価９６
極菱形百八十二面体		364	26本組×13	14		四角形１８２枚	3価２８ 4価１５４ １４価２
大菱形二十・十二面体		180	12本組×15	15		十角形１２枚 六角形２０枚 四角形３０枚	３価１２０
大菱形九十面体		240	10本組×6 18本組×10	16		八角形３０枚 四角形６０枚	3価１４０ ５価１２

• 図形
• 多面体

• Weisstein, Eric W. "Zonohedron". mathworld.wolfram.com (英語).

表 話 編 歴 多面体
一様多面体	正多面体 正四面体 正六面体 正八面体 正十二面体 正二十面体 半正多面体 切頂四面体 切頂六面体 切頂八面体 切頂十二面体 切頂二十面体 立方八面体 二十・十二面体 斜方立方八面体 斜方二十・十二面体 斜方切頂立方八面体 斜方切頂二十・十二面体 変形立方体 変形十二面体 星型正多面体 小星型十二面体 大十二面体 大星型十二面体 大二十面体 その他 八面半八面体 四面半六面体 小立方立方八面体 大立方立方八面体 立方半八面体 立方切頂立方八面体 一様大斜方立方八面体 小斜方六面体 星型切頂六面体 大切頂立方八面体 大斜方六面体 小二重三角二十・十二面体 小二十・二十・十二面体 小変形二十・二十・十二面体 小十二・二十・十二面体 十二・十二面体 切頂大十二面体 斜方十二・十二面体 小斜方十二面体 変形十二・十二面体 二重三角十二・十二面体 大二重三角十二・二十・十二面体 小二重三角十二・二十・十二面体 二十・十二・十二面体 二十面切頂十二・十二面体 変形二十・十二・十二面体 大二重三角二十・十二面体 大二十・二十・十二面体 小二十面半十二面体 小十二・二十面体 小十二面半十二面体 大二十・十二面体 切頂大二十面体 斜方二十面体 大変形二十・十二面体 小星型切頂十二面体 切頂十二・十二面体 逆変形十二・十二面体 大十二・二十・十二面体 小十二面半二十面体 大十二・二十面体 大変形十二・二十・十二面体 大十二面半二十面体 大星型切頂十二面体 一様大斜方二十・十二面体 大切頂二十・十二面体 大逆変形二十・十二面体 大十二面半十二面体 大二十面半十二面体 小反屈変形二十・二十・十二面体 大斜方十二面体 大反屈変形二十・十二面体 大二重斜方二十・十二面体
カタランの立体	三方四面体 三方八面体 四方六面体 三方二十面体 五方十二面体 菱形十二面体 菱形三十面体 凧形二十四面体 凧形六十面体 六方八面体 六方二十面体 五角二十四面体 五角六十面体
ジョンソンの立体	正四角錐 正五角錐 正三角台塔 正四角台塔 正五角台塔 正五角丸塔 正三角錐柱 正四角錐柱 正五角錐柱 正四角錐反柱 正五角錐反柱 双三角錐 双五角錐 双三角錐柱 双四角錐柱 双五角錐柱 双四角錐反柱 正三角台塔柱 正四角台塔柱 正五角台塔柱 正五角丸塔柱 正三角台塔反柱 正四角台塔反柱 正五角台塔反柱 正五角丸塔反柱 異相双三角柱 同相双三角台塔 同相双四角台塔 異相双四角台塔 同相双五角台塔 異相双五角台塔 同相五角台塔丸塔 異相五角台塔丸塔 同相双五角丸塔 同相双三角台塔柱 異相双三角台塔柱 異相双四角台塔柱 同相双五角台塔柱 異相双五角台塔柱 同相五角台塔丸塔柱 異相五角台塔丸塔柱 同相双五角丸塔柱 異相双五角丸塔柱 双三角台塔反柱 双四角台塔反柱 双五角台塔反柱 五角台塔丸塔反柱 双五角丸塔反柱 側錐三角柱 二側錐三角柱 三側錐三角柱 側錐五角柱 二側錐五角柱 側錐六角柱 双側錐六角柱 二側錐六角柱 三側錐六角柱 側錐十二面体 双側錐十二面体 二側錐十二面体 三側錐十二面体 二側錐欠損二十面体 三側錐欠損二十面体 側錐三側錐欠損二十面体 側台塔切頂四面体 側台塔切頂立方体 双側台塔切頂立方体 側台塔切頂十二面体 双側台塔切頂十二面体 二側台塔切頂十二面体 三側台塔切頂十二面体 側台塔回転斜方二十・十二面体 双側台塔回転斜方二十・十二面体 二側台塔回転斜方二十・十二面体 三側台塔回転斜方二十・十二面体 側台塔欠損斜方二十・十二面体 双側台塔回転欠損斜方二十・十二面体 二側台塔回転欠損斜方二十・十二面体 二側台塔回転側台塔欠損斜方二十・十二面体 双側台塔欠損斜方二十・十二面体 二側台塔欠損斜方二十・十二面体 側台塔回転二側台塔欠損斜方二十・十二面体 三側台塔欠損斜方二十・十二面体 変形双五角錐 変形四角反柱 球形屋根 側錐球形屋根 長球形屋根 広底長球形屋根 五角錐球形屋根 双三日月双丸塔 三角広底球形屋根丸塔
ゾーン多面体	平行六面体 菱形十二面体第2種 菱形二十面体 菱形九十面体 長菱形十二面体
星型多面体	小三角六辺形二十面体 完全二十面体 星型八面体
ねじれ正多面体	四角六片四角孔ねじれ正多面体 六角四片四角孔ねじれ正多面体 六角六片三角孔ねじれ正多面体
面の数による分類	二面体 四面体 五面体 六面体 七面体 八面体 十面体 十二面体 十四面体 二十面体 二十四面体 三十面体 四十八面体 六十面体 百二十面体
その他	角錐 角柱 双角錐 反角柱 ねじれ双角錐 プリズマトイド（英語版） 擬大斜方立方八面体 大二重変形二重斜方十二面体 切稜立方体 穿孔多面体 ダ・ヴィンチの星 正四面体リング 凸多面体 凹多面体 双対多面体 複合多面体 平面充填形