正二十面体

正二十面体
種別	正多面体、デルタ多面体、二十面体
面形状	20枚の正三角形
辺数	30
頂点数	12
頂点形状	35
シュレーフリ記号	{3, 5}
ワイソフ記号	5 | 2 3
対称群	Ih
双対多面体	正十二面体
特性	凸集合
展開図の例
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正二十面体（せいにじゅうめんたい、英: regular icosahedron）は立体の名称の1つ。空間を正三角形20枚で囲んだ凸多面体。3次元空間で最大の面数を持つ正多面体である。

正多面体のひとつである正十二面体の頂点周りを面の中心まで切頂することによって得られる（双対関係）。

また、正六面体や正十二面体に対する捩じり切り操作と同様の操作を正四面体に対して行うことでも得られる^[1]。

• 正反五角柱の両底面に正五角錐を貼り付けた形である。よって、正二十面体を双五角錐反柱 (Gyroelongated pentagonal bipyramid) と呼ぶ場合がある。
• 向かい合う面は平行である。
• 展開図の数は43,380種類。
• 面の数は20、辺の数は30、頂点の数は12。
• 頂点形状は正五角形であり、5本の辺と5枚の正三角形が集まる。
• 正十二面体と双対である。

一辺の長さをaとすると、

面の面積	${\displaystyle A={1 \over 4}{\sqrt {3}}a^{2}}$
表面積	${\displaystyle S=20A=5{\sqrt {3}}a^{2}}$
体積	${\displaystyle V={\frac {1}{3}}Sr={15+5{\sqrt {5}} \over 12}a^{3}}$
最長対角線の長さ	${\displaystyle d={{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}} \over 2}a}$
外接球半径	${\displaystyle R={\frac {d}{2}}={{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}} \over 4}a}$
内接球半径	${\displaystyle r={3{\sqrt {3}}+{\sqrt {15}} \over 12}a}$

以下は、標準的な座標の取り方の一つである。ここで ${\displaystyle \varphi }$ は黄金比 ${\displaystyle {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$ 、 ${\displaystyle \epsilon _{1},\epsilon _{2},\epsilon _{3}=\pm 1}$ である。

12個の頂点（原点からの距離 ${\displaystyle {\sqrt {\varphi +2}}}$）の座標

• ${\displaystyle (0,\epsilon _{2},\epsilon _{3}\varphi )}$ のxyz座標を偶置換した 12個

30個の辺（長さ${\displaystyle 2}$）の、両端点および中心の座標

• 両端点 ${\displaystyle (0,\epsilon _{2},\epsilon _{3}\varphi )}$と${\displaystyle (\epsilon _{1},\epsilon _{2}\varphi ,0)}$、中心 ${\displaystyle {\frac {1}{2}}(\epsilon _{1},\epsilon _{2}\varphi ^{2},\epsilon _{3}\varphi )}$ のxyz座標を偶置換した 24個
• 両端点 ${\displaystyle (0,1,\epsilon _{3}\varphi )}$と${\displaystyle (0,-1,\epsilon _{3}\varphi )}$、中心${\displaystyle (0,0,\epsilon _{3}\varphi )}$ のxyz座標を偶置換した 6個

20個の面の、外側から見て反時計回りの頂点列および中心の座標

• 頂点 ${\displaystyle (0,\epsilon _{2},\epsilon _{1}\epsilon _{2}\varphi ),(\epsilon _{1}\varphi ,0,\epsilon _{1}\epsilon _{2}),(\epsilon _{1},\epsilon _{2}\varphi ,0)}$ の4個
• 頂点 ${\displaystyle (0,\epsilon _{2},-\epsilon _{1}\epsilon _{2}\varphi ),(\epsilon _{1},\epsilon _{2}\varphi ,0),(\epsilon _{1}\varphi ,0,-\epsilon _{1}\epsilon _{2})}$ の4個
• 頂点 ${\displaystyle (0,\epsilon _{2},\epsilon _{3}\varphi )}$, ${\displaystyle (0,-\epsilon _{2},\epsilon _{3}\varphi )}$, ${\displaystyle (\epsilon _{2}\epsilon _{3}\varphi ,0,\epsilon _{3})}$ のxyz座標を偶置換した 12個

正二十面体の回転対称性の群（英語版） ${\displaystyle I}$ は5文字の交代群 ${\displaystyle A_{5}}$ に同型である。位数は60。この非可換単純群は5文字の対称群 ${\displaystyle S_{5}}$ の唯一の非自明な正規部分群である。一般の五次方程式のガロア群は5文字の対称群に同型であり、そしてこの正規部分群が単純で非可換なので、一般の五次方程式は冪根による解を有しない。アーベル‐ルフィニの定理の証明はこの単純な事実を用いる。そしてフェリックス・クラインは正二十面体的対称性（英語版）の理論を利用して一般の五次方程式の解析的解法を導く本を書いた (Klein 1888)。詳しい歴史ならびに関係する7文字と11文字の対称性については正二十面体的対称性#関連する幾何学的性質（英語版）を見よ。

（鏡映を含めた）正二十面体の全て(full)の対称性の群は全正二十面体群（英語版）^{[訳語疑問点]} ${\displaystyle I_{h}}$ として知られる。位数は120。そしてこれは回転対称群と、正二十面体の中心を通る鏡映によって生成されるサイズ2の群 ${\displaystyle C_{2}}$ との直積 ${\displaystyle A_{5}\times C_{2}}$ に同型である。

また、双対図形である正十二面体の回転の群ならびに対称性の群は、どちらも正二十面体のそれと全く等しい。

正二十面体を枠に持つのは次の立体である。

大十二面体

小星型十二面体

大二十面体

切頂二十面体 t{5, 3}

二十・十二面体 r{5, 3} = r{3, 5}

三方二十面体

正十二面体と正二十面体による複合多面体

正二十面体と近縁となるジョンソンの立体は次の通りである。

正五角錐反柱	双五角錐柱	双五角錐
双四角錐反柱	二側錐欠損二十面体	三側錐欠損二十面体

• Felix, Klein (1884) (ドイツ語), Vorlesungen über das Ikosaeder und die Auflösung der Gleichungen vom fünften Grade, Teubner, https://archive.org/details/vorlesungenber00kleiuoft 
  • Klein, Felix (2003-02-20) [1888] (英語), Lectrues on the ikosahedron and the solution of equations of the fifth degree (Dover Phoenix ed.), Dover Publications, ISBN 978-0-486-49528-6, http://digital.library.cornell.edu/cgi/t/text/text-idx?c=math;cc=math;view=toc;subview=short;idno=03070001  - 英訳。
  • 関口次郎 訳『正20面体と5次方程式』シュプリンガー・フェアラーク東京、1997年4月21日、317頁。ISBN 978-4-431-70692-2。  - 日本語訳。
  • 関口次郎・前田博信 訳『正20面体と5次方程式』（改訂新版）丸善出版、2012年8月25日、357頁。ISBN 978-4-621-06364-4。  - 日本語訳の改訂新版。数学者スロードウィーによる解説・注釈を収録。

• 『正二十面体の対角線・体積・内接球などを座標で計算』 - 高校数学の美しい物語
• Weisstein, Eric W. "Icosahedron". mathworld.wolfram.com (英語).
• Weisstein, Eric W. "Regular Icosahedron". mathworld.wolfram.com (英語).
• Weisstein, Eric W. "Icosahedral Graph". mathworld.wolfram.com (英語).
• Weisstein, Eric W. "Icosahedral Group". mathworld.wolfram.com (英語).

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表 話 編 歴 多面体
一様多面体	正多面体 正四面体 正六面体 正八面体 正十二面体 正二十面体 半正多面体 切頂四面体 切頂六面体 切頂八面体 切頂十二面体 切頂二十面体 立方八面体 二十・十二面体 斜方立方八面体 斜方二十・十二面体 斜方切頂立方八面体 斜方切頂二十・十二面体 変形立方体 変形十二面体 星型正多面体 小星型十二面体 大十二面体 大星型十二面体 大二十面体 その他 八面半八面体 四面半六面体 小立方立方八面体 大立方立方八面体 立方半八面体 立方切頂立方八面体 一様大斜方立方八面体 小斜方六面体 星型切頂六面体 大切頂立方八面体 大斜方六面体 小二重三角二十・十二面体 小二十・二十・十二面体 小変形二十・二十・十二面体 小十二・二十・十二面体 十二・十二面体 切頂大十二面体 斜方十二・十二面体 小斜方十二面体 変形十二・十二面体 二重三角十二・十二面体 大二重三角十二・二十・十二面体 小二重三角十二・二十・十二面体 二十・十二・十二面体 二十面切頂十二・十二面体 変形二十・十二・十二面体 大二重三角二十・十二面体 大二十・二十・十二面体 小二十面半十二面体 小十二・二十面体 小十二面半十二面体 大二十・十二面体 切頂大二十面体 斜方二十面体 大変形二十・十二面体 小星型切頂十二面体 切頂十二・十二面体 逆変形十二・十二面体 大十二・二十・十二面体 小十二面半二十面体 大十二・二十面体 大変形十二・二十・十二面体 大十二面半二十面体 大星型切頂十二面体 一様大斜方二十・十二面体 大切頂二十・十二面体 大逆変形二十・十二面体 大十二面半十二面体 大二十面半十二面体 小反屈変形二十・二十・十二面体 大斜方十二面体 大反屈変形二十・十二面体 大二重斜方二十・十二面体
カタランの立体	三方四面体 三方八面体 四方六面体 三方二十面体 五方十二面体 菱形十二面体 菱形三十面体 凧形二十四面体 凧形六十面体 六方八面体 六方二十面体 五角二十四面体 五角六十面体
ジョンソンの立体	正四角錐 正五角錐 正三角台塔 正四角台塔 正五角台塔 正五角丸塔 正三角錐柱 正四角錐柱 正五角錐柱 正四角錐反柱 正五角錐反柱 双三角錐 双五角錐 双三角錐柱 双四角錐柱 双五角錐柱 双四角錐反柱 正三角台塔柱 正四角台塔柱 正五角台塔柱 正五角丸塔柱 正三角台塔反柱 正四角台塔反柱 正五角台塔反柱 正五角丸塔反柱 異相双三角柱 同相双三角台塔 同相双四角台塔 異相双四角台塔 同相双五角台塔 異相双五角台塔 同相五角台塔丸塔 異相五角台塔丸塔 同相双五角丸塔 同相双三角台塔柱 異相双三角台塔柱 異相双四角台塔柱 同相双五角台塔柱 異相双五角台塔柱 同相五角台塔丸塔柱 異相五角台塔丸塔柱 同相双五角丸塔柱 異相双五角丸塔柱 双三角台塔反柱 双四角台塔反柱 双五角台塔反柱 五角台塔丸塔反柱 双五角丸塔反柱 側錐三角柱 二側錐三角柱 三側錐三角柱 側錐五角柱 二側錐五角柱 側錐六角柱 双側錐六角柱 二側錐六角柱 三側錐六角柱 側錐十二面体 双側錐十二面体 二側錐十二面体 三側錐十二面体 二側錐欠損二十面体 三側錐欠損二十面体 側錐三側錐欠損二十面体 側台塔切頂四面体 側台塔切頂立方体 双側台塔切頂立方体 側台塔切頂十二面体 双側台塔切頂十二面体 二側台塔切頂十二面体 三側台塔切頂十二面体 側台塔回転斜方二十・十二面体 双側台塔回転斜方二十・十二面体 二側台塔回転斜方二十・十二面体 三側台塔回転斜方二十・十二面体 側台塔欠損斜方二十・十二面体 双側台塔回転欠損斜方二十・十二面体 二側台塔回転欠損斜方二十・十二面体 二側台塔回転側台塔欠損斜方二十・十二面体 双側台塔欠損斜方二十・十二面体 二側台塔欠損斜方二十・十二面体 側台塔回転二側台塔欠損斜方二十・十二面体 三側台塔欠損斜方二十・十二面体 変形双五角錐 変形四角反柱 球形屋根 側錐球形屋根 長球形屋根 広底長球形屋根 五角錐球形屋根 双三日月双丸塔 三角広底球形屋根丸塔
ゾーン多面体	平行六面体 菱形十二面体第2種 菱形二十面体 菱形九十面体 長菱形十二面体
星型多面体	小三角六辺形二十面体 完全二十面体 星型八面体
ねじれ正多面体	四角六片四角孔ねじれ正多面体 六角四片四角孔ねじれ正多面体 六角六片三角孔ねじれ正多面体
面の数による分類	二面体 四面体 五面体 六面体 七面体 八面体 十面体 十二面体 十四面体 二十面体 二十四面体 三十面体 四十八面体 六十面体 百二十面体
その他	角錐 角柱 双角錐 反角柱 ねじれ双角錐 プリズマトイド（英語版） 擬大斜方立方八面体 大二重変形二重斜方十二面体 切稜立方体 穿孔多面体 ダ・ヴィンチの星 正四面体リング 凸多面体 凹多面体 双対多面体 複合多面体 平面充填形