固有射 （こゆうしゃ、英 : proper morphism ）とは、スキーム の射で、
複素解析空間 の固有写像 の代数幾何学 における類似物である。
体 k 上固有な 代数多様体 は完備多様体 （英語版 ） k 上の任意の射影多様体 は k 上固有である。複素数 体 C 上の有限型 （英語版 ） X （例えば代数多様体）が C 上固有であるためには、その複素数値点の空間 X (C ) が古典的な（ユークリッド）位相のもとでコンパクト かつハウスドルフ になることが必要十分である。
閉埋入 （英語版 ） 有限射 （finite morphism）であることと、固有射かつ準有限射 （quasi-finite morphism）であることは同値である。
スキームの射 f : X → Y が絶対閉 （universally closed）とは、任意のスキーム Z と射 Z → Y に対してファイバー積 （英語版 ）
X
×
Y
Z
→
Z
{\displaystyle X\times _{Y}Z\to Z}
が位相空間 の写像として閉写像 となっていることを言う。スキームの射が固有 であるとは、分離的 （英語版 ） 有限型 （英語版 ） [ 1] X は Y 上固有と言われ、体 k 上の代数多様体 X の構造射 X → Spec(k ) が固有であるときは k 上固有と言われる。
体 k 上固有なスキームはまた k 完備スキーム[ 2] k 完備スキーム X がある k 上の分離的スキーム Y に開部分スキームとして埋め込むことができたとする。埋め込みを与える射 X → Y は#性質と特徴付け の最後にあげられている性質により固有射となるので、その像は開集合 であるのみならず閉集合 、したがって X は Y の連結成分 となる。このように、k 完備スキームに対しては無限遠成分 をつけ加えてスキームを作るといったアフィン代数多様体に対してできたことができず、たしかに完備なのである。
絶対閉の概念を用いた代数幾何学における固有性の定義はシュヴァレー による
[ 3]
n を自然数 、P n 可換環 R 上の射影空間 とすると、これは R 上固有である。射影的射 （英語版 ） 滑らかな （英語版 ） C 上非射影的なものの存在が知られている[ 4] k 上の次元が正なアフィン多様体 は決して k 上固有にならない。より一般に、固有なアフィン射 （英語版 ） [ 5] k 上のアフィン直線 A 1 は射 A 1 → Spec(k ) が絶対閉ではないので k 上固有ではない。実際、この射の A 1 のファイバー積への引き戻し
A
1
×
k
A
1
→
A
1
{\displaystyle \mathbb {A} ^{1}\times _{k}\mathbb {A} ^{1}\to \mathbb {A} ^{1}}
は (x ,y ) ↦ y によって与えられるが、これによる A 1 × A 1 = A 2 の閉部分集合 xy = 1 の像が A 1 − 0 となり、これは A 1 の閉集合ではないので、閉ではない。
以下では f : X → Y をスキームの射とする。
固有射 f : X → Y の基底変換 （英語版 ） g : Z → Y に対して、自然な射影 X ×Y Z → Z は固有である。 固有性は基底（のザリスキー位相）についての局所的性質 （英語版 ） Y が開部分スキームの集合 Yi で被覆されており、f を f−1 (Yi ) に制限したものが全て固有ならば、f も固有である。 もっと強く、固有性は基底の fpqc 位相 （英語版 ） X を体 k 上のスキーム、E を k の拡大体とすると、X が k 上固有であることと基底変換 X E E 上固有であることは同値である[ 6] もっと一般に、有限射は固有である。これは上昇定理 の帰結である。 スキーム S 上固有な X と S 上分離的な Y に対して、S 上の任意の射 X → Y の像は Y の閉部分集合である[ 9] （シュタイン分解 （英語版 ） f が局所ネータースキームへの固有射であれば、X → Z → Y と分解できる。ここで、X → Z は固有かつ全射かつ幾何的に連結なファイバーを持つ射で、Z → Y は有限射である[ 10] （チャウの補題 （英語版 ） 射影的射 （英語版 ） 準コンパクト スキーム Y 上の固有スキーム X が有限個の既約成分だけを持つ（Y がネーターならば自動的に満たされている）なら、全射の射影的射 g : W → X で W が Y 上射影的なものが存在する。さらに、g が X の稠密な開部分集合 U の上で同型写像で、g −1 (U ) が W で稠密とすることができる。また、X が整なら W も整とすることができる[ 11] 局所ネータースキーム間の固有射は層の連接性を保つ。すなわち、連接層 F の高次順像 Ri f ∗ (F )（特に順像 f ∗ (F )）は連接層である[ 13] グラウエルト （英語版 ） レンメルト （英語版 ） k 上固有な スキーム X の正則関数のなす環は有限次元 k ベクトル空間であることが分かる。これは体 k 上のアフィン直線の正則関数のなす環は多項式環 k [x ] であり、有限次元 k ベクトル空間ではないことと対照的である。 これは次のように少し一般化できる[ 14]
f
:
X
→
S
{\displaystyle f\colon X\to S}
S は局所的にネーター、
F
{\displaystyle F}
O
X
{\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}
F の台が S 上固有ならば、全ての
i
≥
0
{\displaystyle i\geq 0}
高次順像
R
i
f
∗
F
{\displaystyle R^{i}f_{*}F}
X を複素数体上の有限型スキームとすると、その複素数値点の集合 X (C ) は複素解析空間 になり、古典的な（ユークリッド）位相が入る。X と Y が C 上分離的かつ有限型ならば、C 上の射 f : X → Y が固有であることと、誘導された連続写像 f : X (C ) → Y (C ) が固有であること、すなわち任意のコンパクト集合の逆像がコンパクトになることは同値である[ 15] 射 f : X →Y と g : Y →Z の合成 gf が固有で g が分離的ならば、f は固有である。これは、例えば次節の判定法を使って容易に示すことができる。 固有性の付値判定法 （英語版 ）
シュヴァレーに遡る、固有性の付値判定法 と呼ばれる非常に直感的な固有性の判定法がある。f : X → Y をネータースキーム 間の有限型射とする。このとき、f が固有であるための必要十分条件は、R を任意の離散付値環 、K をその商体 、x ∈ X (K ) を K 値点とするとき、像 f (x ) が R 上定義されるならば一意的な持上げ
x
¯
∈
X
(
R
)
{\displaystyle {\overline {x}}\in X(R)}
[ 16] 任意の スキーム X と Y の間の有限型の準分離射 f : X → Y （有限型なら準コンパクトであることに注意）が固有であるための必要十分条件は、R を任意の付値環 、K をその商体 、x ∈ X (K ) を K 値点とするとき、像 f (x ) が R 上定義されるならば一意的な持上げ
x
¯
∈
X
(
R
)
{\displaystyle {\overline {x}}\in X(R)}
[ 17] 正則局所環 に他ならず、Spec K は Spec R の生成点 （英語版 ） Y 上の正則な曲線（射 s : Spec R → Y に対応）とこの曲線の生成点の X への持上げが与えられたとき、f が固有であるための必要十分条件はこの曲線を完成（complete）させる方法がただ１つ存在することである。
同様に、f が分離的であることと、全てのこのような図式に置いて持上げ
x
¯
∈
X
(
R
)
{\displaystyle {\overline {x}}\in X(R)}
この判定法を用いると、例えば射影空間 P n Z でもよい）上固有であることが簡単に示せる。R を離散付値環、K をその商体とし、射影空間の任意の K 点 [x 0 ,...,x n R に入り、かつ少なくとも１つが R の単数になるようにできるので、R 点から来ており、判定法の条件が満たされている。
固有性の付値判定法を直感的に理解するために、複素数体上の形式的冪級数環（これは離散付値環）のスペクトル
Spec
(
C
[
[
t
]
]
)
{\displaystyle {\text{Spec}}(\mathbb {C} [[t]])}
Δ
=
{
x
∈
C
:
|
x
|
<
1
}
{\displaystyle \Delta =\{x\in \mathbb {C} :|x|<1\}}
r
{\displaystyle r}
f
(
t
)
=
∑
n
=
0
∞
a
n
t
n
{\displaystyle f(t)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}t^{n}}
は、定数倍の座標変換をすると単位円板上の冪級数として表すことができるからである。この冪級数環の商体は、
t
{\displaystyle t}
C
[
[
t
]
]
[
t
−
1
]
=
C
(
(
t
)
)
{\displaystyle \mathbb {C} [[t]][t^{-1}]=\mathbb {C} ((t))}
Δ
∗
=
{
x
∈
C
:
0
<
|
x
|
<
1
}
{\displaystyle \Delta ^{*}=\{x\in \mathbb {C} :0<|x|<1\}}
Spec
(
C
)
{\displaystyle {\text{Spec}}(\mathbb {C} )}
Δ
∗
→
X
↓
↓
Δ
→
Y
{\displaystyle {\begin{matrix}\Delta ^{*}&\to &X\\\downarrow &&\downarrow \\\Delta &\to &Y\end{matrix}}}
固有性の付値判定法は、
Δ
∗
{\displaystyle \Delta ^{*}}
X
{\displaystyle X}
0
∈
Δ
{\displaystyle 0\in \Delta }
Δ
{\displaystyle \Delta }
X
{\displaystyle X}
閉じたコンパクト多様体の類似物でなぜ固有性の付値判定法が成り立つのか直感的に理解するために、反例を見てみよう。
X
=
P
1
−
{
x
}
{\displaystyle X=\mathbb {P} ^{1}-\{x\}}
Y
=
Spec
(
C
)
{\displaystyle Y={\text{Spec}}(\mathbb {C} )}
Spec
(
C
[
t
,
t
−
1
]
)
=
A
1
−
{
0
}
{\displaystyle {\text{Spec}}(\mathbb {C} [t,t^{-1}])=\mathbb {A} ^{1}-\{0\}}
X
{\displaystyle X}
{
x
}
{\displaystyle \{x\}}
Spec
(
C
(
(
t
)
)
)
→
Spec
(
C
[
t
,
t
−
1
]
)
↓
↓
Spec
(
C
[
[
t
]
]
)
→
Spec
(
C
)
{\displaystyle {\begin{matrix}{\text{Spec}}(\mathbb {C} ((t)))&\to &{\text{Spec}}(\mathbb {C} [t,t^{-1}])\\\downarrow &&\downarrow \\{\text{Spec}}(\mathbb {C} [[t]])&\to &{\text{Spec}}(\mathbb {C} )\end{matrix}}}
の上部の射から、右上は
X
{\displaystyle X}
Spec
(
C
(
(
t
)
)
)
→
X
{\displaystyle {\text{Spec}}(\mathbb {C} ((t)))\to X}
C
(
(
t
)
)
←
C
[
t
,
t
−
1
]
↑
↑
C
[
[
t
]
]
←
C
{\displaystyle {\begin{matrix}\mathbb {C} ((t))&\leftarrow &\mathbb {C} [t,t^{-1}]\\\uparrow &&\uparrow \\\mathbb {C} [[t]]&\leftarrow &\mathbb {C} \end{matrix}}}
スキームの図式で持上げ
Spec
(
C
[
[
t
]
]
)
→
Spec
(
C
[
t
,
t
−
1
]
)
{\displaystyle {\text{Spec}}(\mathbb {C} [[t]])\to {\text{Spec}}(\mathbb {C} [t,t^{-1}])}
t
↦
t
{\displaystyle t\mapsto t}
C
[
t
,
t
−
1
]
→
C
[
[
t
]
]
{\displaystyle \mathbb {C} [t,t^{-1}]\to \mathbb {C} [[t]]}
X
{\displaystyle X}
Y
{\displaystyle Y}
固有性の付値判定法がなぜ成り立つのかを直感的に教えてくれる同様の例がもう１つある。曲線
C
{\displaystyle C}
C
−
{
p
}
{\displaystyle C-\{p\}}
C
−
{
p
}
→
X
↓
↓
C
→
Y
{\displaystyle {\begin{matrix}C-\{p\}&\rightarrow &X\\\downarrow &&\downarrow \\C&\rightarrow &Y\end{matrix}}}
で持上げ
C
→
X
{\displaystyle C\to X}
X
{\displaystyle X}
O
C
,
p
{\displaystyle {\mathcal {O}}_{C,{\mathfrak {p}}}}
Frac
(
O
C
,
p
)
{\displaystyle {\text{Frac}}({\mathcal {O}}_{C,{\mathfrak {p}}})}
Spec
(
Frac
(
O
C
,
p
)
)
→
X
↓
↓
Spec
(
O
C
,
p
)
→
Y
{\displaystyle {\begin{matrix}{\text{Spec}}({\text{Frac}}({\mathcal {O}}_{C,{\mathfrak {p}}}))&\rightarrow &X\\\downarrow &&\downarrow \\{\text{Spec}}({\mathcal {O}}_{C,{\mathfrak {p}}})&\rightarrow &Y\end{matrix}}}
の持上げの問題になるが、これが固有性の付値判定法における状況であった。スキーム
Spec
(
Frac
(
O
C
,
p
)
)
{\displaystyle {\text{Spec}}({\text{Frac}}({\mathcal {O}}_{C,{\mathfrak {p}}}))}
p
{\displaystyle {\mathfrak {p}}}
p
{\displaystyle {\mathfrak {p}}}
f
:
X
→
S
{\displaystyle f\colon {\mathfrak {X}}\to {\mathfrak {S}}}
局所ネーター形式スキーム （英語版 ） f が固有 、または
X
{\displaystyle {\mathfrak {X}}}
S
{\displaystyle {\mathfrak {S}}}
固有 とは、(i) f が進射 （英語版 ） [訳語疑問点 （adic morphism）（つまり、定義イデアル（the ideal of definition）を定義イデアルに写す）であって、(ii) 誘導される写像
f
0
:
X
0
→
S
0
{\displaystyle f_{0}\colon X_{0}\to S_{0}}
X
0
=
(
X
,
O
X
/
I
)
{\displaystyle X_{0}=({\mathfrak {X}},{\mathcal {O}}_{\mathfrak {X}}/I)}
S
0
=
(
S
,
O
S
/
K
)
{\displaystyle S_{0}=({\mathfrak {S}},{\mathcal {O}}_{\mathfrak {S}}/K)}
I
=
f
∗
(
K
)
O
X
{\displaystyle I=f^{*}(K){\mathcal {O}}_{\mathfrak {X}}}
K は
S
{\displaystyle {\mathfrak {S}}}
[ 18] K の取り方によらない。
例えば、g : Y → Z を局所ネータースキームの固有射、Z 0 を Z の閉部分集合、Y 0 を Y の g (Y 0 ) ⊂ Z 0 となるような閉部分集合とすると、形式的完備化上の射
g
^
:
Y
/
Y
0
→
Z
/
Z
0
{\displaystyle {\widehat {g}}\colon Y_{/Y_{0}}\to Z_{/Z_{0}}}
グロタンディークはこの状況での連接定理（coherence theorem）を証明した。すなわち、
f
:
X
→
S
{\displaystyle f\colon {\mathfrak {X}}\to {\mathfrak {S}}}
F を
X
{\displaystyle {\mathfrak {X}}}
R
i
f
∗
F
{\displaystyle R^{i}f_{*}F}
[ 19]
^ [EGA] II, 5.4.1[1]
^
飯高茂 『代数幾何学 I』岩波書店 〈岩波講座基礎数学 〉、1977年、56頁。
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^ (EGA III , 3.2.4)
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![{\displaystyle {\text{Spec}}(\mathbb {C} [[t]])}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc33c099b18393b811b4bc4b36b47da7e99dfdf7)
![{\displaystyle \mathbb {C} [[t]][t^{-1}]=\mathbb {C} ((t))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c613740aad26856289780a3dc2ae2c48ff8d57f3)
![{\displaystyle {\text{Spec}}(\mathbb {C} [t,t^{-1}])=\mathbb {A} ^{1}-\{0\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9131c02b021a792e30c207d22c47ecb6dc7cac31)
![{\displaystyle {\begin{matrix}{\text{Spec}}(\mathbb {C} ((t)))&\to &{\text{Spec}}(\mathbb {C} [t,t^{-1}])\\\downarrow &&\downarrow \\{\text{Spec}}(\mathbb {C} [[t]])&\to &{\text{Spec}}(\mathbb {C} )\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c90137402723316fe7a1968b3e824759155f5242)
![{\displaystyle {\begin{matrix}\mathbb {C} ((t))&\leftarrow &\mathbb {C} [t,t^{-1}]\\\uparrow &&\uparrow \\\mathbb {C} [[t]]&\leftarrow &\mathbb {C} \end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f76b0e37164b97cc222831de9f43381d60bd05e3)
![{\displaystyle {\text{Spec}}(\mathbb {C} [[t]])\to {\text{Spec}}(\mathbb {C} [t,t^{-1}])}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ddbfa815e4443f9d485c98ebcbd9666192b259e6)
![{\displaystyle \mathbb {C} [t,t^{-1}]\to \mathbb {C} [[t]]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf19229e3d790d3f24abb9b84f0cf192c83d3199)
