Aksjomat pary

Aksjomat pary (nieuporządkowanej) – jeden z aksjomatów teorii mnogości Zermela-Fraenkla. Stwierdza on istnienie, dla dowolnych dwóch elementów, zbioru złożonego wyłącznie z tych dwóch elementów. Został wprowadzony przez Zermela^[1] jako część aksjomatu gwarantującego istnienie trzech zbiorów elementarnych: jedynego zbioru pustego, singletonu oraz pary nieuporządkowanej.

Dla dowolnych zbiorów ${\displaystyle A}$ i ${\displaystyle B}$ istnieje zbiór ${\displaystyle C,}$ którego jedynymi elementami są ${\displaystyle A}$ i ${\displaystyle B.}$ Formalnie^[2]:

${\displaystyle \forall A\ \forall B\ \exists C\ \forall D\ (D\in C\iff D=A\lor D=B).}$

Korzystając z aksjomatu ekstensjonalności, łatwo można pokazać istnienie dokładnie jednego takiego zbioru dla dowolnych danych ${\displaystyle A}$ i ${\displaystyle B.}$ Zbiór ten nazywamy parą nieuporządkowaną ${\displaystyle A}$ i ${\displaystyle B}$ i oznaczamy ${\displaystyle \{A,B\}.}$ Warto zaznaczyć, że jeśli ${\displaystyle A=B}$, to w rzeczywistości powstały zbiór jest jednoelementowy.

W teorii Zermela

Zakładając aksjomaty teorii Z, niektóre pary (nieuporządkowane) zbiorów możemy utworzyć bez powołania się na aksjomat pary. Jeśli ograniczymy zakres rozważanych zbiorów do elementów pewnego ustalonego z góry zbioru ${\displaystyle X}$ i wybierzemy dwa z nich, to potrafimy stworzyć zbiór zawierający tylko te 2 wybrane elementy. Formalniej, niech ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$, ${\displaystyle X}$ będą takie, że

${\displaystyle A,B\in X}$

Wówczas do utworzenia pary z tych zbiorów nie jest potrzebny aksjomat pary. Możemy to zrobić, korzystając jedynie z aksjomatu wycinania. Mianowicie rozważmy predykat:

${\displaystyle \varphi (D)\equiv (D=A\lor D=B)}$

wtedy na mocy aksjomatu wycinania istnieje zbiór ${\displaystyle Y=\{D\in X:\varphi (D)\}}$, który, jak łatwo sprawdzić, spełnia warunek

${\displaystyle (D\in Y)\iff (D=A\vee D=B)}$

a zatem ${\displaystyle Y=\{A,B\}}$.

W teorii Zermela-Fraenkla

Zakładając aksjomaty teorii ZF, aksjomat pary staje twierdzeniem wynikającym z aksjomatu zastępowania, który jest silniejszą wersją aksjomatu wycinania, oraz aksjomatu zbioru potęgowego, aksjomatu zbioru pustego i aksjomatu ekstensjonalności^[3].

Rozważmy dowolne zbiory ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$ oraz formułę ${\displaystyle \varphi }$, w której ${\displaystyle z}$ jest zmienną związaną, daną przez

${\displaystyle \varphi (u,v)\equiv ((u=\emptyset \wedge v=A)\vee (u=P(\emptyset )\wedge v=B)}$

gdzie ${\displaystyle P(\emptyset )}$ oznacza zbiór potęgowy zbioru pustego. Sprawdzamy, że formuła ${\displaystyle \varphi }$ spełnia warunek

${\displaystyle \varphi (u,v)\wedge \varphi (u,w)\implies v=w}$

co wynika z faktu, że ${\displaystyle \emptyset \neq P(\emptyset )}$. Spełnione jest zatem założenie aksjomatu zastępowania, a więc

${\displaystyle \forall a\ \exists z\ \forall v\ (v\in z\iff [(\exists u\in a):\varphi (u,v)]}$

W powyższym, ustalamy ${\displaystyle a=P(P(\emptyset ))}$ i uzyskujemy

${\displaystyle \exists z\ \forall v\ [v\in z\iff (\ (\ \exists u\in P(P(\emptyset ))\ ):\varphi (u,v)\ )]}$

Zauważmy, że ${\displaystyle u\in P(P(\emptyset ))}$ oznacza ${\displaystyle u=\emptyset \ \vee \ u=P(\emptyset )}$. Zatem formuła z prawej strony spełniona jest tylko, gdy ${\displaystyle u=\emptyset \ \wedge \ v=A}$ albo ${\displaystyle u=P(\emptyset )\ \wedge \ v=B}$. Stąd, uzyskujemy żądany zbiór ${\displaystyle z}$ taki, że

${\displaystyle v\in z\iff (v=A\vee v=B)}$

czyli innymi słowy ${\displaystyle z=\{A,B\}}$.

W powyższym dowodzie, aksjomat zbioru pustego i aksjomat zbioru potęgowego są nam potrzebne do skonstruowania dwóch różnych zbiorów, tj. ${\displaystyle \emptyset }$ oraz ${\displaystyle P(\emptyset )}$, a także zbioru, który zawiera tylko te dwa zbiory, czyli ${\displaystyle P(P(\emptyset ))}$. Możliwa jest również konstrukcja korzystająca z aksjomatu nieskończoności. Wtedy, ze zbioru induktywnego możemy wyciąć podzbiory ${\displaystyle \{\emptyset \}}$ i ${\displaystyle \{\emptyset ,\{\emptyset \}\}}$, które odpowiadają kolejno ${\displaystyle P(\emptyset )}$ i ${\displaystyle P(P(\emptyset ))}$.

Mając już daną parę zbiorów, możemy teraz zdefiniować zbiór złożony tylko z jednego elementu ${\displaystyle A,}$ czyli zbiór jednoelementowy:

${\displaystyle \{A\}=\{A,A\}}$^[4]

Zbiór ${\displaystyle \{A\}}$ należy oczywiście odróżniać od zbioru ${\displaystyle A}$.

Mając dane zbiory ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle B,}$ ${\displaystyle C,}$ możemy zatem skonstruować zbiory ${\displaystyle \{A,B\},}$ ${\displaystyle \{C\}}$ i dalej wobec aksjomatu pary ${\displaystyle \{\{A,B\},\{C\}\}.}$ Korzystając z aksjomatu sumy, otrzymamy stąd zbiór ${\displaystyle \{A,B,C\}}$ zwany trójką nieuporządkowaną. Postępując dalej analogicznie, możemy definiować zbiory złożone z trzech, czterech itd. elementów^[5].

Przy pomocy tej konstrukcji możemy skonstruować dowolne zbiory skończone. Istnienie zbioru nieskończonego wynika z aksjomatu nieskończoności i jest niezależne od aksjomatu pary^{[potrzebny przypis]}.

 Osobny artykuł: Para uporządkowana.

Dzięki aksjomatowi pary, możemy także zdefiniować parę uporządkowaną zbiorów ${\displaystyle A}$ i ${\displaystyle B{:}}$

${\displaystyle (A,B)=\{\{A\},\{A,B\}\}}$^[6]

którą charakteryzuje istniejący na niej porządek elementów, tj. dwie pary uporządkowane ${\displaystyle (A,B)}$ i ${\displaystyle (C,D)}$ są sobie równe wtedy i tylko wtedy, gdy ${\displaystyle A=C}$ i ${\displaystyle B=D}$.

Aksjomat pary zapewnia istnienie, a aksjomat ekstensjonalności jednoznaczność tej definicji. Jest to standardowa definicja pary uporządkowanej zaproponowana przez Kuratowskiego, chodź istnieją też inne definicje (patrz: Definicje pary uporządkowanej).

• Kazimierz Kuratowski, Andrzej Mostowski: Teoria mnogości. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1966.
• Wojciech Guzicki, Paweł Zbierski: Podstawy teorii mnogości. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1978.

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Axiom of the Unordered Pair, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2024-03-07].