Aksjomat zbioru pustego

Aksjomat zbioru pustego – jeden z aksjomatów teorii mnogości w ujęciu Zermela-Fraenkla, zakładający istnienie zbioru pustego^[1].

Istnieje zbiór taki, że żaden element do niego nie należy. Można to zapisać zdaniem logicznym^[1]:

${\displaystyle \exists X\;\forall y\;(y\notin X).}$

Na mocy aksjomatu ekstensjonalności istnieje tylko jeden zbiór posiadający taką właściwość – jest to zbiór pusty ${\displaystyle \varnothing .}$

Wraz z aksjomatem nieskończoności zaliczany jest do absolutnych pewników istnienia – postuluje on bowiem istnienie pewnego obiektu matematycznego (w tym wypadku zbioru pustego) bez żadnych dodatkowych założeń, w przeciwieństwie do większości aksjomatów Zermelo-Frenkla, uzależniających istnienie nowych obiektów od pewnych obiektów już istniejących^[2].

Aksjomat zbioru pustego zazwyczaj wymienia się wśród aksjomatów Zermela-Fraenkla. Można go jednak bez szkody dla teorii pominąć, bowiem wynika on z aksjomatu nieskończoności – aksjomat nieskończoności gwarantuje istnienie zbioru, którego jednym z elementów jest właśnie zbiór pusty.

Jeśli język teorii mnogości jest uzupełniony o symbol zbioru pustego ${\displaystyle \varnothing }$ jako zbioru ${\displaystyle a}$ zdefiniowanego przez warunek ${\displaystyle \forall b\;\neg (b\in a),}$ to aksjomat nieskończoności gwarantujący istnienie zbioru ${\displaystyle X}$ zawiera frazę ${\displaystyle \varnothing \in X,}$ w przeciwnym razie trzeba ją zastąpić przez frazę ${\displaystyle \exists a\;{\big (}a\in X\land \forall b\;\neg (b\in a){\big )}.}$

• KazimierzK. Kuratowski KazimierzK., AndrzejA. Mostowski AndrzejA., Teoria Mnogości, „Monografie”, trzecie zmienione, 27, Monografie Matematyczne, Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1978 .

• Wojciech Guzicki, Piotr Zakrzewski: Wykłady ze wstępu do matematyki: wprowadzenie do teorii mnogości. Warszawa: PWN, 2005. ISBN 83-01-14415-7. Brak numerów stron w książce