Funkcja Czebyszewa

Funkcje Czebyszewa są dwiema funkcjami wykorzystywanymi w teorii liczb. Swoją nazwę wzięły od nazwiska rosyjskiego matematyka, Pafnutija Czebyszewa^[1].

Pierwsza funkcja Czebyszewa, oznaczana przez ${\displaystyle \vartheta (x)}$ lub ${\displaystyle \theta (x),}$ jest zdefiniowana jako

${\displaystyle \vartheta (x)=\sum _{p\leqslant x}\log p,}$

dla dowolnej liczby rzeczywistej ${\displaystyle x>0,}$ gdzie ${\textstyle \sum _{p\leqslant x}}$ oznacza sumę po liczbach pierwszych mniejszych lub równych ${\displaystyle x,}$ a ${\displaystyle \log }$ jest logarytmem naturalnym.

Druga funkcja Czebyszewa, oznaczana przez ${\displaystyle \psi (x),}$ jest zdefiniowana jako

${\displaystyle \psi (x)=\sum _{n\leqslant x}\Lambda (n)=\sum _{p^{k}\leqslant x}\log p=\sum _{p\leqslant x}\lfloor \log _{p}x\rfloor \log p,}$

dla ${\displaystyle x>0,}$ gdzie ${\displaystyle \Lambda (n)}$ jest funkcją von Mangoldta.

Funkcje ${\displaystyle \vartheta }$ i ${\displaystyle \psi }$ (zwłaszcza ${\displaystyle \psi }$) są wykorzystywane szczególnie często w analitycznej teorii liczb, ze względu na dobre wzory opisujące ich zachowanie w relacji z funkcją zeta Riemanna.

Niech ${\displaystyle \pi (x)}$ będzie funkcją liczącą liczby pierwsze. Korzystając z sumowania przez części Abela, możemy uzyskać^[1]

${\displaystyle \vartheta (x)=\pi (x)\log x-\int _{2}^{x}{\frac {\pi (t)}{t}}dt}$

i równoważnie

${\displaystyle \pi (x)={\frac {\vartheta (x)}{\log x}}+\int _{2}^{x}{\frac {\vartheta (t)}{t(\log t)^{2}}}dt.}$

Relacja między pierwszą a drugą funkcją Czebyszewa jest opisana przez

${\displaystyle \psi (x)=\sum _{n=1}^{\infty }\vartheta \left(x^{\frac {1}{n}}\right)=\sum _{n\leqslant \log _{2}x}\vartheta \left(x^{\frac {1}{n}}\right),}$

przy czym druga równość zachodzi, ponieważ dla ${\displaystyle n>\log _{2}x}$ zachodzi nierówność ${\displaystyle x^{\frac {1}{n}}<2,}$ a tym samym ${\displaystyle \vartheta \left(x^{\frac {1}{n}}\right)=0.}$

Dodatkowo, korzystając z powyższej równości można wykazać dla ${\displaystyle x>0}$ prawdziwość ograniczenia

${\displaystyle 0\leqslant {\frac {\psi (x)}{x}}-{\frac {\vartheta (x)}{x}}\leqslant {\frac {(\log x)^{2}}{2{\sqrt {x}}\log 2}}.}$

 Osobny artykuł: Twierdzenie o liczbach pierwszych.

W swojej pierwotnej wersji, twierdzenie o liczbach pierwszych mówi, że

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {\pi (x)}{x\log x}}=1.}$

Korzystając z funkcji Czebyszewa, możemy równoważnie zapisać treść jako

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {\vartheta (x)}{x}}=1}$

lub

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {\psi (x)}{x}}=1.}$

 Osobny artykuł: Tożsamość Selberga.

W 1948 r. Atle Selberg udowodnił zależność^[2]

${\displaystyle \vartheta (x)\log x+\sum _{p\leqslant x}\vartheta \left({\frac {x}{p}}\right)\log p=2x\log x+O(x),}$

lub równoważnie^[1]

${\displaystyle \psi (x)\log x+\sum _{p\leqslant x}\psi \left({\frac {x}{p}}\right)\log p=2x\log x+O(x)}$

lub^[1]

${\displaystyle \psi (x)\log x+\sum _{n\leqslant x}\psi \left({\frac {x}{n}}\right)\Lambda (n)=2x\log x+O(x).}$

Wzór Selberga odegrał kluczową rolę w elementarnych, niezależnych od siebie dowodach twierdzenia o liczbach pierwszych Selberga i Erdösa^[2][3].

W 1895 Hans von Mangoldt udowodnił^[4], że

${\displaystyle \psi _{0}(x)=x-\sum _{\rho }{\frac {x^{\rho }}{\rho }}-{\frac {\zeta '(0)}{\zeta (0)}}-{\frac {1}{2}}\log \left(1-{\frac {1}{x^{2}}}\right),}$

gdzie ${\textstyle \sum _{\rho }}$ oznacza sumę po wszystkich zerach funkcji zeta na ${\displaystyle 0<\Re (s)<1.}$ Funkcja ${\displaystyle \psi _{0}}$ jest zdefiniowana jako

${\displaystyle \psi _{0}(x)={\frac {1}{2}}\left(\sum _{n\leqslant x}\Lambda (n)+\sum _{n<x}\Lambda (n)\right).}$

Wiadomo, że szeregiem Taylora równym funkcji ${\textstyle \log(1-x^{-2})}$ jest

${\displaystyle -\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {x^{-2k}}{k}},}$

dlatego ${\textstyle \sum _{\rho }}$ trzeba rozumieć jako sumę po nietrywialnych miejscach zerowych funkcji zeta, a powyższy szereg – jako sumę po miejscach trywialnych ${\displaystyle (-2,-4,-6,\dots ).}$

Na potrzebę zagadnień dot. liczb pierwszych w ciągach arytmetycznych (np. twierdzenia Dirichleta), definiuje się często funkcje pomocnicze^[5]. Niech dana będzie liczba całkowita ${\displaystyle q>1}$ oraz względnie pierwsza z nią liczba całkowita ${\displaystyle a.}$ Wówczas oznaczamy

${\displaystyle \vartheta (x;q,a)=\sum _{\begin{array}{c}p\leqslant x\\p\equiv a\;({\text{mod}}\;q)\end{array}}\log p}$

oraz

${\displaystyle \psi (x;q,a)=\sum _{\begin{array}{c}n\leqslant x\\n\equiv a\;({\text{mod}}\;q)\end{array}}\Lambda (n).}$