Tożsamość Selberga

Tożsamość Selberga, wzór asymptotyczny Selberga (ang. Selberg's identity, Selberg's asymptotic formula) – zależność asymptotyczna dotycząca liczb pierwszych, wykorzystywana w teorii liczb - szczególnie w elementarnych dowodach twierdzenia o liczbach pierwszych. Została ona udowodniona w marcu 1948 r. przez Atle Selberga i zaproponowana w artykule Paula Erdősa z 1949 r.^[1]

Wzór asymptotyczny Selberga występuje pod wieloma różnymi formami. Wśród najczęściej stosowanych występują

${\displaystyle \vartheta (x)\log x+\sum _{p\leqslant x}\vartheta \left({\frac {x}{p}}\right)\log p=2x\log x+O(x)}$

lub równoważnie

${\displaystyle \psi (x)\log x+\sum _{p\leqslant x}\psi \left({\frac {x}{p}}\right)\log p=2x\log x+O(x)}$,

gdzie ${\displaystyle \vartheta }$ i ${\displaystyle \psi }$ to odpowiednio pierwsza i druga funkcja Czebyszewa, a w podanych sumach występują jedynie liczby pierwsze ${\displaystyle p\leqslant x}$. Inną, rzadziej wykorzystywaną postacią, ale nie korzystającą z dodatkowych funkcji jest

${\displaystyle \sum _{p<x}(\log p)^{2}+\sum _{pq<x}\log p\log q=2x\log x+O(x)}$.

Tożsamością, która może posłużyć jako lemat w dowodzie zależności asymptotycznej, jest (również nazywana tożsamością Selberga) równość

${\displaystyle \Lambda (n)\log n+\sum _{d|n}\Lambda (d)\Lambda \left({\frac {n}{d}}\right)=\sum _{d|n}\mu (d)\left(\log {\frac {n}{d}}\right)^{2}}$,

gdzie ${\displaystyle \Lambda }$ oznacza funkcję von Mangoldta, a ${\displaystyle \mu }$ funkcję Möbiusa.

Dowód:^[2] Dla dowolnej funkcji arytmetycznej ${\displaystyle f}$ oznaczmy przez ${\displaystyle f'}$ funkcję daną wzorem ${\displaystyle f'(n):=f(n)\log n}$, gdzie czynnik, przez który funkcja jest przemnożona, to logarytm naturalny. Można wykazać, że tak zdefiniowane funkcje spełniają własności:

• ${\displaystyle (f+g)'=f'+g'}$,
• ${\displaystyle (f*g)'=f'*g+f*g'}$, gdzie ${\displaystyle *}$ oznacza splot Dirichleta,
• ${\displaystyle (f^{-1})'=-f'*(f*f)^{-1}}$, gdzie ${\displaystyle f^{-1}}$ oznacza odwrotność Dirichleta ${\displaystyle f}$, pod warunkiem, że ${\displaystyle f(1)\neq 0}$.

Pierwsza równość jest oczywista, druga jest prawdziwa, ponieważ

${\displaystyle (f*g)'(n)=\sum _{d|n}f(d)g\left({\frac {n}{d}}\right)\log n=\sum _{d|n}f(d)g\left({\frac {n}{d}}\right)\log d+\sum _{d|n}f(d)g\left({\frac {n}{d}}\right)\log {\frac {n}{d}}=(f'*g)(n)+(f*g')(n)}$.

Trzecia równość wynika z drugiej, ponieważ

${\displaystyle 0=(f*f^{-1})'=f'*f^{-1}+f*(f^{-1})'}$,

więc

${\displaystyle f*(f^{-1})'=-f'*f^{-1}}$.

Mnożąc obie strony przez ${\displaystyle f^{-1}}$, otrzymuje się

${\displaystyle (f^{-1})'=-(f'*f^{-1})*f^{-1}=-f'*(f^{-1}*f^{-1})=-f'*(f*f)^{-1}}$.

Można teraz przystąpić do dowodu tożsamości. Należy tu skorzystać ze znanej tożsamości dla funkcji von Mangoldta, tzn. ${\textstyle \sum _{d|n}\Lambda (d)=\log n}$. Zapisując tę równość w splocie Dirichleta, ${\displaystyle \Lambda *1=1'}$, gdzie ${\displaystyle 1(n)=1}$ dla wszystkich ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$. Stąd

${\displaystyle (\Lambda *1)'=\Lambda '*1+\Lambda *1'=1''}$.

Podstawiając ${\displaystyle 1'=\Lambda *1}$, wzór przekształca się do

${\displaystyle \Lambda '*1+\Lambda *(\Lambda *1)=1''}$.

Obie strony mnoży się przez ${\displaystyle \mu =1^{-1}}$, żeby otrzymać

${\displaystyle \Lambda '+\Lambda *\Lambda =1''*\mu }$.

Powyższa jest poszukiwaną tożsamością.

Współczynniki ${\textstyle c_{n}=\Lambda (n)\log n+\sum _{d|n}\Lambda (d)\Lambda (n/d)}$ występujące po lewej stronie tożsamości są współczynnikami szeregu Dirichleta

${\displaystyle {\frac {\zeta ''}{\zeta }}(s)=\left({\frac {\zeta '}{\zeta }}\right)'(s)+\left({\frac {\zeta '}{\zeta }}\right)^{2}(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {c_{n}}{n^{s}}}}$,

gdzie ${\displaystyle \zeta }$ oznacza funkcję zeta Riemanna. Funkcja ta ma biegun rzędu 2 w ${\displaystyle s=1}$ ze współczynnikiem 2, dlatego w szacowaniu ${\textstyle \sum _{n<x}c_{n}}$ pojawia się wyrażenie ${\displaystyle 2x\log x}$.

Jak pisał Atle Selberg w liście do Doriana Goldfelda z 6 stycznia 1998r., otrzymana tożsamość pokazuje, że funkcje Czebyszewa spełniają zależność postaci

${\displaystyle f(x)\log x+\int _{1}^{x}f\left({\frac {x}{t}}\right)\;df(t)=2x\log x+O(x)}$.

Tożsamość Selberga miała posłużyć udowodnieniu, że ${\displaystyle \psi (x)\sim x}$. Jednak w ogólności można skonstruować kontrprzykład - niemonotoniczną funkcję ${\displaystyle f}$, dla której powyższa zależność jest spełniona, ale ${\displaystyle f(x)\not \sim x}$^[1].