O axioma da extensão, também chamado axioma da extensionalidade ou ainda axioma da unicidade, cumpre, na teoria dos conjuntos de Zermelo-Fraenkel, o papel de estabelecer como as relações de pertinência (${\displaystyle \in }$) e igualdade de conjuntos (${\displaystyle =}$) estão relacionadas. O seu enunciado diz:

Se dois conjuntos ${\displaystyle x}$ e ${\displaystyle y}$ são tais que todo elemento de ${\displaystyle x}$ é elemento de ${\displaystyle y}$ e todo elemento de ${\displaystyle y}$ é elemento de ${\displaystyle x}$, então ${\displaystyle x}$ e ${\displaystyle y}$ são iguais.

Na linguagem da lógica formal podemos enunciá-lo da seguinte forma:

${\displaystyle \forall x\forall y(\forall z(z\in x\leftrightarrow z\in y)\rightarrow x=y).}$

O conteúdo deste axioma é claro: um conjunto é completamente determinado pelos elementos que contêm. Alguns matemáticos dizem isso afirmando que um conjunto é determinado pela sua extensão o que é, talvez, não muito claro. O outro nome pelo qual o axioma é conhecido, axioma da unicidade, é mais sugestivo: não há dois conjuntos com exatamente os mesmos elementos.

Pode parecer uma trivialidade formal exigir que se dois conjuntos têm os mesmos elementos então são iguais, mas não é tanto como parece. Halmos diz, em Teoria ingênua dos conjuntos^[1], que é valioso compreender o axioma da extensão não apenas como uma propriedade lógica necessária de igualdade, mas também como uma proposição não-trivial sobre pertinência. Para esclarecer, sugere compararmos pertinência-igualdade de conjuntos com ancestralidade-igualdade de humanos, considerando seres humanos no lugar de conjuntos e colocando ${\displaystyle x\in y}$ sempre que ${\displaystyle x}$ for ancestral de ${\displaystyle y}$. É claro que neste caso o análogo do axioma da extensão não vale. Realmente, se Bart e Lisa são irmãos, têm então os mesmos ancestrais, contudo não são seres humanos iguais.

Em termos da inclusão de conjuntos (${\displaystyle \subset }$) podemos ainda expressar o axioma da extensão como^[2]

${\displaystyle \forall x\forall y((x\subset y\wedge y\subset x)\rightarrow x=y).}$

Em palavras,

A inclusão de conjuntos é anti-simétrica.

A recíproca do axioma da extensão,

${\displaystyle \forall x\forall y(x=y\rightarrow \forall z(z\in x\leftrightarrow z\in y)),}$

é evidentemente verdadeira^[3] e alguns autores referem-se a proposição completa

${\displaystyle \forall x\forall y(\forall z(z\in x\leftrightarrow z\in y)\leftrightarrow x=y)}$

como sendo o axioma da extensão. Historicamente isto não é correto mas, por outro lado, não há qualquer problema lógico em enunciar o axioma nesta forma; exceto que a implicação recíproca acrescentada não é, de fato, um axioma^[4].

• Extensionalidade

• Halmos, Paul R (2001). Teoria ingênua dos conjuntos. Tradução de Lázaro Coutinho. Rio de Janeiro: Ciência Moderna. 178 páginas. ISBN 85-7393-141-8 

• Axiom ax-ext 2164 em Metamath Proof Explorer (em inglês)
• Axiom of extensionality em Encyclopedia of Mathematics (em inglês)
• Axiom of Extensionality em MathWorld (em inglês)
• Axiom of Extension em ProofWiki (em inglês)

• Portal da matemática