Elemento (matemática)

Na matemática, um elemento, ou membro, é um dos objetos distintos que constituem um conjunto.

Por exemplo, a seleção brasileira de futebol de 1970 é um conjunto e cada um dos jogadores que defenderam o Brasil na Copa de 1970 são os seus elementos; uma manada de búfalos é um conjunto e cada búfalo da manada, com a sua individualidade preservada, é um dos elementos do conjunto; o alfabeto latino, tal como usado na Língua Portuguesa, é um conjunto e as letras que o compõem são os seus elementos; etc.

Tal como o conceito de conjunto é primitivo, a relação “ser elemento de” (também chamada relação de pertinência) é também primitiva. O seu sentido ganha-se por intuição. Como sinônimo de “ $x$ é elemento de $A$ ” tem-se “ $x$ é membro de $A$ ”, “ $x$ pertence a $A$ ”, “ $x$ está em $A$ ”.

Notação

A sentença “ $x$ é elemento de $A$ ” é frequentemente denotada por

x \in A

.

Uma notação alternativa, pouco usual, é

A ∋ x

,

significando “ $A$ contém $x$ como membro”.

A negação ¬( $x \in A$ ) é normalmente denotada por

x \notin A

.

O símbolo ϵ foi usado pela primeira vez por Giuseppe Peano, em 1889, na sua obra Arithmetices principia nova methodo exposita. Ele escreve na página X:

"Signum ϵ significat est. Ita a ϵ b legitur a est quoddam b; ..."

cuja tradução é

"O símbolo ϵ significa é. Assim, a ϵ b deve ser lido como a é um b; ..."

Os caracteres Unicode para esses símbolos são U+2208 ('é elemento de'), U+220B ('contém como membro') e U+2209 ('não é um elemento de'). Em LaTeX os comandos equivalentes são "\in", "\ni" e "\notin". O Mathematica possui os comandos "\[Element]" e "\[NotElement]".

Cardinalidade de conjuntos

O número de elementos pertencentes a um conjunto particular é uma propriedade conhecida como cardinalidade; informalmente, a cardinalidade é o tamanho do conjunto. Nos exemplos abaixo a cardinalidade do conjunto A é 4, enquanto a cardinalidade dos conjuntos B e C é 3. Um conjunto infinito é um conjunto com um número infinito de elementos, ao passo que um conjunto finito é um conjunto com um número finito de elementos. Um exemplo de um conjunto infinito é o conjunto dos números naturais, N = { 1, 2, 3, 4, ... }.

Exemplos

Utilizando os conjuntos acima mencionados, nomeadamente A = {1, 2, 3, 4 }, B = {1, 2, {3, 4}} e C = { vermelho, verde, azul }:

2 ∈ A
{3,4} ∈ B
{3,4} é um membro de B
amarelo ∉ C
A cardinalidade de D = { 2, 4, 8, 10, 12 } é finita e igual a 5.
A cardinalidade de P = { 2, 3, 5, 7, 11, 13, ...} (o conjunto de todos os números primos) é infinita (este fato foi demonstrado por Euclides).

Leitura recomendada

Halmos, Paul R. (1974) [1960], Naive Set Theory, ISBN 0-387-90092-6, Undergraduate Texts in Mathematics Hardcover ed. , NY: Springer-Verlag
Jech, Thomas (2002), «Set Theory», Stanford Encyclopedia of Philosophy
Suppes, Patrick (1972) [1960], Axiomatic Set Theory, ISBN 0-486-61630-4, NY: Dover Publications, Inc.

Ver também

Ligações externas

Weisstein, Eric W. «Element». MathWorld (em inglês) (em inglês)
Definition:Element em ProofWiki (em inglês)