Um homeomorfismo entre uma caneca e uma rosquinha Um homeomorfismo é a noção principal de congruência em topologia , sendo o isomorfismo de espaços topológicos .[ 2] Henri Poincaré , em 1895.[ 3]
Dois espaços topológicos dizem-se homeomorfos se existir uma aplicação entre esses espaços que seja contínua , invertível e que a sua inversa seja contínua. Essa aplicação é chamada de homeomorfismo .
Na linguagem da teoria das categorias , um morfismo entre espaços topológicos é uma função contínua entre eles.[ 2]
Um isomorfismo , chamado de homeomorfismo , portanto, é um morfismo que tem um morfismo inverso.[ 2]
Um isomorfismo entre espaços topológicos é também conhecido como homeomorfismo bijetor, que a função bijetora que preserva a estrutura topológica envolvida.
Exemplos
Exemplos de espaços homeomorfos:
No plano (
R
2
{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}
quadrado e uma circunferência são homeomorfos;
Quaisquer duas curvas simples no espaço são homeomorfas;
Uma caneca e uma rosquinha são homeomorfos;
O domínio de uma função contínua e o seu gráfico — conjunto dos pontos
(
x
,
f
(
x
)
)
{\displaystyle (x,f(x))}
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
R
m
{\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}
Uma bola no
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
R
m
{\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}
n
=
m
{\displaystyle n=m}
Exemplos de homeomorfismos:
Translações e homotetias de
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
Exemplos de aplicações não-homeomorfas:
Não basta que a função seja contínua e invertível: a função
f
:
[
0
,
2
π
)
→
S
1
{\displaystyle f:[0,2\ \pi )\rightarrow S^{1}\,}
f
(
x
)
=
(
sin
x
,
cos
x
)
{\displaystyle f(x)=(\sin x,\cos x)\,}
Propriedades
A aplicação composta de dois homeomorfismos é um homeomorfismo.
Resultados relevantes
Sejam X compacto e Y Hausdorff . Dada uma função bijetiva e contínua
f
:
X
↦
Y
{\displaystyle f:X\mapsto Y}
f
{\displaystyle f}
Bibliografia
