Lei da probabilidade total

Teoria das probabilidades
Axiomas de probabilidade
Espaço de probabilidade Espaço amostral Evento primário Evento Variável aleatória Medida de probabilidade
Evento complementar Eventos mutuamente exclusivos Probabilidade conjunta Probabilidade marginal Probabilidade condicional
Independência Independência condicional Lei da probabilidade total Lei dos grandes números Teorema de Bayes Desigualdade de Boole
Diagrama de Venn Diagrama de árvore
v d e

Em teoria das probabilidades, a lei da probabilidade total é uma regra fundamental que relaciona probabilidades marginais e probabilidades condicionais. Ela expressa a probabilidade total de um resultado que pode ser realizado através de vários eventos distintos.

A lei da probabilidade total^[1] é a proposição de que se ${\displaystyle \left\{{B_{n}:n=1,2,3,\ldots }\right\}}$ é uma partição finita ou infinita contável de um espaço amostral, i.e. um conjunto de eventos disjuntos pares cuja união é todo o espaço da amostra, e cada evento Bn é mensurável, então, para qualquer evento A do mesmo espaço de probabilidade:

${\displaystyle \Pr(A)=\sum _{n}\Pr(A\cap B_{n})\,}$

ou, alternativamente,^[1]

${\displaystyle \Pr(A)=\sum _{n}\Pr(A\mid B_{n})\Pr(B_{n}),\,}$

onde, para qualquer ${\displaystyle n\,}$ para que ${\displaystyle \Pr(B_{n})=0\,}$ estes termos são omitidos na soma, pois ${\displaystyle \Pr(A\mid B_{n})\,}$ é finito. A soma pode ser interpretada como uma média ponderada e, por isso, a probabilidade marginal ${\displaystyle \Pr(A)}$ pode ser chamada de "probabilidade média" ("average probability", em inglês).^[2]

A lei da probabilidade total também pode ser indicada para probabilidades condicionais. Tomando o mesmo ${\displaystyle B_{n}}$ acima, e assumindo que ${\displaystyle C}$ é um evento independente com qualquer dos eventos de ${\displaystyle B_{n}}$:

${\displaystyle \Pr(A\mid C)=\sum _{n}\Pr(A\mid C\cap B_{n})\Pr(B_{n}\mid C)=\sum _{n}\Pr(A\mid C\cap B_{n})\Pr(B_{n})}$

A expressão matemática acima pode ser interpretada da seguinte forma: "Dado um resultado ${\displaystyle A}$, com probabilidades condicionais conhecidas dado qualquer evento de ${\displaystyle B_{n}}$, cada um com sua probabilidade, qual é a probabilidade total de que ${\displaystyle A}$ vai acontecer?". A resposta para esta questão é ${\displaystyle \Pr(A)}$.

Suponha que duas fábricas forneçam lâmpadas para o mercado. As lâmpadas da fábrica X trabalham por mais de 5 000 horas em 99% dos casos, enquanto as lâmpadas de Y trabalham por mais de 5 000 horas em 95% dos casos. Sabe-se que a fábrica X fornece 60% das lâmpadas. Qual é a chance de que a lâmpada comprada irá funcionar por mais de 5 000 horas? Aplicando a lei da probabilidade total, nós temos:

${\displaystyle {\Pr(A)=\Pr(A|B_{1})}\cdot {\Pr(B_{1})}+{\Pr(A|B_{2})}\cdot {\Pr(B_{2})}={99 \over 100}\cdot {6 \over 10}+{95 \over 100}\cdot {4 \over 10}={{594+380} \over 1000}={974 \over 1000}}$,

onde

• ${\displaystyle \Pr(B_{1})={6 \over 10}}$ é a probabilidade que a lâmpada comprada foi feita pela fábrica X
• ${\displaystyle \Pr(B_{2})={4 \over 10}}$ é a probabilidade que a lâmpada comprada foi feita pela fábrica Y
• ${\displaystyle \Pr(A|B_{1})={99 \over 100}}$ é a probabilidade que a lâmpada feita por X vai funcionar por mais de 5 000 h
• ${\displaystyle \Pr(A|B_{2})={95 \over 100}}$ é a probabilidade que a lâmpada feita por Y vai funcionar por mais de 5 000 h

Assim, cada lâmpada comprada tem uma chance de 97,4% para o trabalho por mais de 5 000 horas.

Uma aplicação comum da lei é o lugar onde os eventos coincidem com uma variável aleatória discreta X tomando cada valor em sua faixa, ou seja, ${\displaystyle B_{n}}$ é o evento ${\displaystyle X=x_{n}}$. Segue-se que a probabilidade do evento A é igual ao valor esperado das probabilidades condicionais de um dado ${\displaystyle X=x_{n}}$. Isto é,

${\displaystyle \Pr(A)=\sum _{n}\Pr(A\mid X=x_{n})\Pr(X=x_{n})=\operatorname {E} [\Pr(A\mid X)],}$

em que ${\displaystyle Pr(A|X)}$ é a probabilidade condicional de um dado valor da variável aleatória X. Esta probabilidade condicional é uma variável aleatória cujo valor depende de X. A probabilidade condicional ${\displaystyle Pr(A|X=x)}$ é simplesmente uma probabilidade condicional de um evento, [X = x]. Sendo uma função de x, por exemplo ${\displaystyle g(x)=Pr(A|X=x)}$. Então a probabilidade condicional Pr(A|X) é g(x), portanto, uma variável aleatória. Esta versão da lei da probabilidade total diz que o valor esperado da variável aleatória é o mesmo que Pr(A). Este resultado pode ser generalizado para variáveis ​​aleatórias contínuas, e a expressão se torna

${\displaystyle \Pr(A)=\operatorname {E} [\Pr(A\mid {\mathcal {F}}_{X})],}$

onde ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{X}}$ denota a sigma-álgebra gerada pela variável aleatória X.

O termo lei da probabilidade total também é conhecido como lei das alternativas, que é um caso especial da lei da probabilidade total aplicado à variáveis ​​aleatórias discretas. Um autor ainda utiliza a terminologia "lei contínua de alternativas", no caso contínuo.^[3] Este resultado é dado por Geoffrey Grimmett e Welsh^[4] como o teorema de partição, um nome que eles também dão à lei de expectativa total.

• Lei da expectativa total (Law of total expectation)
• Lei da variância total (Law of total variance)
• Lei da acumulação total (Law of total cumulance)

• Introduction to Probability and Statistics by William Mendenhall, Robert J. Beaver, Barbara M. Beaver, Thomson Brooks/Cole, 2005, page 159.
• Theory of Statistics, by Mark J. Schervish, Springer, 1995.
• Schaum's Outline of Theory and Problems of Beginning Finite Mathematics, by John J. Schiller, Seymour Lipschutz, and R. Alu Srinivasan, McGraw–Hill Professional, 2005, page 116.
• A First Course in Stochastic Models, by H. C. Tijms, John Wiley and Sons, 2003, pages 431–432.
• An Intermediate Course in Probability, by Alan Gut, Springer, 1995, pages 5–6.