Esta página cita fontes, mas que não cobrem todo o conteúdo. Ajude a inserir referências (Encontre fontes: ABW  • CAPES  • Google (notícias • livros • acadêmico)). (Fevereiro de 2021)

Em matemática, existem magmas que são comutativos, mas não associativos. Um exemplo simples de tais magmas é obtido a partir do jogo das crianças de pedra, papel e tesoura. Tais magmas dão origem a álgebras não-associativas.^[1][2]

Seja ${\displaystyle M:=\{r,p,s\},}$ cujos elementos correspondem aos gestos de "pedra", "papel" e "tesoura" (em inglês, "rock", "paper" e "scissor"), respectivamente, e considere a operação binária ${\displaystyle \cdot :M\times M\to M}$ decorrente das regras do jogo da seguinte maneira:

Para quaisquer ${\displaystyle x,y\in M:}$

• Se ${\displaystyle x\neq y}$ e ${\displaystyle x}$ vence ${\displaystyle y}$ no jogo, então, ${\displaystyle x\cdot y=y\cdot x=x}$
• ${\displaystyle x\cdot x=x,}$ ou seja, todo ${\displaystyle x}$ é idempotente.

Assim, por exemplo:

• ${\displaystyle r\cdot p=p\cdot r=p}$   "o papel vence a pedra";
• ${\displaystyle s\cdot s=s}$  "a tesoura empata com a tesoura".

Isso resulta na seguinte tabela de Cayley: $${\displaystyle {\begin{array}{c|ccc}\cdot &r&p&s\\\hline r&r&p&r\\p&p&p&s\\s&r&s&s\end{array}}}$$ Por definição, o magma ${\displaystyle (M,\cdot )}$ é comutativo, mas além disso ele é não-associativo, como se pode ver considerando que: $${\displaystyle r\cdot (p\cdot s)=r\cdot s=r}$$ mas $${\displaystyle (r\cdot p)\cdot s=p\cdot s=s}$$ isto é, $${\displaystyle r\cdot (p\cdot s)\neq (r\cdot p)\cdot s}$$

A operação de "média" ${\displaystyle x\oplus y=(x+y)/2}$ nos números racionais (ou qualquer sistema numérico comutativo fechado sob a divisão) também é comutativa, mas não é associativa em geral, por exemplo, $${\displaystyle -4\oplus (0\oplus +4)=-4\oplus +2=-1}$$ mas $${\displaystyle (-4\oplus 0)\oplus +4=-2\oplus +4=+1}$$ Geralmente, as operações de média estudadas em topologia não precisam ser associativas.

A construção aplicada na seção anterior para pedra-papel-tesoura aplica-se diretamente para variantes do jogo com outra quantidade de gestos, como descrito na seção de variações, desde que existam dois jogadores e as condições sejam simétricas entre eles; de forma mais abstrata, ela pode ser aplicada a qualquer relação binária trichotomous relação binária (como "vencer" no jogo). O magma resultante será associativo se a relação for transitiva e, portanto, é uma ordem total (estrita); caso contrário, se finito, ela contém ciclos orientados (como pedra-papel-tesoura-pedra) e o magma é não-associativa. Para ver este último caso, considere a combinação de todos os elementos de um ciclo na ordem inversa, isto é, de modo que cada elemento combinado vence o anterior; o resultado é o último elemento combinado, enquanto associatividade e comutatividade significaria que o resultado só dependeria do conjunto de elementos do ciclo.

A linha inferior do diagrama de Karnaugh acima dá mais exemplos de operações, definidas nos números inteiros (ou em qualquer anel comutativo).

Usando o exemplo de pedra-papel-tesoura, pode-se construir uma álgebra sobre um corpo ${\displaystyle K}$ comutativa mas não-associativa: considere ${\displaystyle A}$ como sendo o espaço vetorial tridimensional sobre ${\displaystyle K}$ cujos elementos são escritos na forma $${\displaystyle (x,y,z)=xr+yp+zs,}$$ em que ${\displaystyle x,y,z\in K.}$ A adição vetorial e a multiplicação por escalar são definidas componente a componente, e os vetores são multiplicados usando as regras acima para multiplicar os elementos ${\displaystyle r,p,s.}$ O conjunto

:${\displaystyle \{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\},}$ ou seja, ${\displaystyle \{r,p,s\}}$

forma uma base para a álgebra ${\displaystyle A.}$ Como antes, a multiplicação de vetores em ${\displaystyle A}$ é comutativa, mas não é associativa.

O mesmo procedimento pode ser utilizado para obter a partir de qualquer magma comutativo ${\displaystyle M}$ uma álgebra sobre ${\displaystyle K}$ em ${\displaystyle K^{M},}$ que será não-associativa se o mesmo ocorrer com ${\displaystyle M.}$