Em Álgebra linear , uma matriz quadrada é dita ortogonal se sua matriz inversa coincide com sua matriz transposta .[ 1]
Isto é, uma matriz
M
∈
R
n
×
n
{\displaystyle M\in \mathbb {R} ^{n\times n}}
M
−
1
=
M
T
{\displaystyle M^{-1}=M^{T}}
Uma matriz
M
∈
R
n
×
n
{\displaystyle M\in R^{n\times n}}
ortogonal se:
ortogonal se for invertível, isto é:
d
e
t
(
M
)
≠
0
{\displaystyle det(M)\neq 0}
ortogonal se somente se sua matriz inversa
M
−
1
{\displaystyle M^{-1}}
M
T
{\displaystyle M^{T}}
M
−
1
=
M
T
{\displaystyle M^{-1}=M^{T}}
Exemplos
I
n
=
[
1
0
0
⋯
0
0
1
0
⋯
0
0
0
1
⋯
0
⋮
⋮
⋮
⋮
⋮
0
0
0
⋯
1
]
n
×
n
{\displaystyle I_{n}={\begin{bmatrix}1&0&0&\cdots &0\\0&1&0&\cdots &0\\0&0&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\0&0&0&\cdots &1\end{bmatrix}}_{n\times n}}
R
θ
=
[
cos
θ
-sen
θ
sen
θ
cos
θ
]
{\displaystyle R_{\theta }={\begin{bmatrix}\cos \,\theta &{\text{-sen}}\,\theta \\{\text{sen}}\,\theta &\cos \,\theta \end{bmatrix}}}
R
x
=
[
1
0
0
−
1
]
{\displaystyle R_{x}={\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}}}
Propriedades
Matrizes ortogonais possuem as seguintes propriedades:[ 1]
Se
A
{\displaystyle A}
det
(
A
)
=
±
1
{\displaystyle \det(A)=\pm 1}
[ demonstração 1] A matriz
A
{\displaystyle A}
A
T
{\displaystyle A^{T}}
[ demonstração 4] Se
A
{\displaystyle A}
c
A
{\displaystyle cA}
c
=
±
1
{\displaystyle c=\pm 1}
[ demonstração 5]
Bibliografia
Kolman, B. (2013). Álgebra linear com aplicações 9 ed. [S.l.]: LTC. ISBN 9788521622086 Strang, Gilbert (2010). Álgebra linear e suas aplicações 4 ed. [S.l.]: Cengage. ISBN 9788522107445 Lay, David (2013). Álgebra linear e suas aplicações 4 ed. [S.l.]: LTC. ISBN 9788521622093 Santos, Reginaldo J. (2013). Introdução à Álgebra Linear . Belo Horizonte: Imprensa universitária - UFMG. ISBN 8574700185
↑ Da definição, tem-se que:
A
T
⋅
A
−
1
=
I
n
{\displaystyle A^{T}\cdot A^{-1}=I_{n}}
d
e
t
(
A
T
⋅
A
−
1
)
=
d
e
t
(
I
n
)
=
1
{\displaystyle det(A^{T}\cdot A^{-1})=det(I_{n})=1}
Teorema de Binet ,
d
e
t
(
A
T
⋅
A
−
1
)
=
d
e
t
(
A
T
)
⋅
d
e
t
(
A
−
1
)
{\displaystyle det(A^{T}\cdot A^{-1})=det(A^{T})\cdot det(A^{-1})}
d
e
t
(
A
T
⋅
A
−
1
)
=
d
e
t
(
A
T
)
⋅
d
e
t
(
A
−
1
)
=
1
{\displaystyle det(A^{T}\cdot A^{-1})=det(A^{T})\cdot det(A^{-1})=1}
A
T
=
A
−
1
{\displaystyle A^{T}=A^{-1}}
det
(
A
T
)
=
det
(
A
−
1
)
{\displaystyle \det(A^{T})=\det(A^{-1})}
d
e
t
(
A
T
)
⋅
d
e
t
(
A
−
1
)
=
(
d
e
t
(
A
)
)
2
=
1
{\displaystyle det(A^{T})\cdot det(A^{-1})={\bigl (}det(A){\bigr )}^{2}=1}
det
(
A
)
=
±
1
{\displaystyle \det(A)=\pm 1}
↑ Seja
A
=
[
a
1
a
2
…
a
n
]
{\displaystyle A=[\mathbf {a} _{1}~\mathbf {a} _{2}~\ldots ~\mathbf {a} _{n}]}
a
i
{\displaystyle \mathbf {a} _{i}}
A
{\displaystyle A}
A
T
=
A
−
1
{\displaystyle A^{T}=A^{-1}}
A
T
A
=
I
n
{\displaystyle A^{T}A=I_{n}}
a
i
⋅
a
j
=
{
1
,
i
=
j
0
,
i
≠
j
{\displaystyle \mathbf {a} _{i}\cdot \mathbf {a} _{j}=\left\{{\begin{array}{ll}1&,~i=j\\0&,~i\neq j\end{array}}\right.}
{
a
1
,
a
2
,
…
,
a
n
}
{\displaystyle \{\mathbf {a} _{1},\mathbf {a} _{2},\ldots ,\mathbf {a} _{n}\}}
A
{\displaystyle A}
A
T
A
=
I
n
{\displaystyle A^{T}A=I_{n}}
↑ Segue raciocínio análogo do usado na demonstração da propriedade anterior.
↑ Segue imediatamente da observação de que:
A
T
=
A
−
1
⇔
(
A
T
)
T
=
(
A
−
1
)
T
⇔
A
=
(
A
T
)
−
1
{\displaystyle A^{T}=A^{-1}\Leftrightarrow (A^{T})^{T}=(A^{-1})^{T}\Leftrightarrow A=(A^{T})^{-1}}
↑ Por hipótese,
A
T
=
A
−
1
{\displaystyle A^{T}=A^{-1}}
(
c
A
)
T
=
c
A
T
=
c
A
−
1
{\displaystyle (cA)^{T}=cA^{T}=cA^{-1}}
c
A
−
1
=
(
c
A
)
−
1
{\displaystyle cA^{-1}=(cA)^{-1}}
c
=
±
1
{\displaystyle c=\pm 1}
Nota: Para matrizes complexas ortogonais, veja Matriz unitária.
![{\displaystyle A=[\mathbf {a} _{1}~\mathbf {a} _{2}~\ldots ~\mathbf {a} _{n}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8193f595b52cbb89b26947f4f518f5f15b1509fa)
