Em física matemática, um potencial de Pöschl-Teller, em homenagem aos físicos Herta Pöschl e Edward Teller, é uma classe especial de potenciais para os quais a equação de Schrödinger unidimensional pode ser resolvida em termos de funções especiais.

Na sua forma simétrica sua definição é explicitamente dada por^[1]

${\displaystyle V(x)=-{\frac {\lambda (\lambda +1)}{2}}\mathrm {sech} ^{2}(x)}$

e as soluções da equação de Schrödinger independente do tempo

${\displaystyle -{\frac {1}{2}}\psi ''(x)+V(x)\psi (x)=E\psi (x)}$

com este potencial pode ser encontrado em virtude da substituição ${\displaystyle u=\mathrm {tanh(x)} }$, que produz

${\displaystyle \left[(1-u^{2})\psi '(u)\right]'+\lambda (\lambda +1)\psi (u)+{\frac {2E}{1-u^{2}}}\psi (u)=0}$.

Assim as soluções ${\displaystyle \psi (u)}$ (são apenas as funções de Legendre ${\displaystyle P_{\lambda }^{\mu }(\tanh(x))}$ com ${\displaystyle E={\frac {-\mu ^{2}}{2}}}$, e ${\displaystyle \lambda =1,2,3\cdots }$, ${\displaystyle \mu =1,2,\cdots ,\lambda -1,\lambda }$.^[2][3] Além disso, os autovalores e os dados de espalhamento podem ser explicitamente computados^[4]

No caso especial do inteiro ${\displaystyle \lambda }$, o potencial é sem reflexão e tais potenciais também surgem como as soluções de sóliton N da equação de Korteweg-de Vries.^[5][6]

A forma mais geral do potencial é dada por^[1]

${\displaystyle V(x)=-{\frac {\lambda (\lambda +1)}{2}}\mathrm {sech} ^{2}(x)-{\frac {\nu (\nu +1)}{2}}\mathrm {csch} ^{2}(x).}$

Referências

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