O teorema de Burlet é um resultado na geometria euclidiana, que pode ser formulado da seguinte maneira:

O Teorema de Burlet nos dá a área em função dos segmentos em que o círculo interno divide um lado e meio do ângulo oposto.^[1]

Uma prova formal do teorema é assim demonstrada:^[2]

${\displaystyle S=cotg({\frac {a}{2}})\times m\times n}$

${\displaystyle S_{abc}=m\times n\times cotg({\frac {a}{2}})}$

Seja ${\displaystyle DI=DJ=r}$ sabemos que ${\displaystyle DiC={\pi \over 2}}$ e que ${\displaystyle IbD={a \over 2}}$ pois ${\displaystyle D}$ é incentro.

Note que ${\displaystyle BI=BJ}$ usando um pouco de trigonometria temos:

${\displaystyle {\frac {r}{BI}}=tg({\frac {a}{2}})}$

${\displaystyle BI=BJ=r\times cotg({\frac {a}{2}})}$

Note também que o perímetro desse triangulo é ${\displaystyle 2p=2BI+2AE+2JC}$ tal que

${\displaystyle p=BI+AE+JC}$

${\displaystyle p=m+n+r\times cotg({\frac {a}{2}})}$

Pelo teorema da circunferência inscrita temos:

${\displaystyle r\times cotg({\frac {a}{2}})=p-AC}$

${\displaystyle m=p-BC}$

${\displaystyle n=p-AB}$

Sabemos que ${\displaystyle S=pr}$ e que ${\displaystyle S={\sqrt {p(p-AB)(p-BC)(p-AC)}}}$

Substituindo os valores na primeira segunda equação:

${\displaystyle S={\sqrt {p(p-AB)(p-BC)(p-AC)}}}$

${\displaystyle S={\sqrt {p(r\times cotg({\frac {a}{2}})\times m\times n}})}$

Elevando ao quadrado

${\displaystyle S^{2}=pr\times cotg({\frac {a}{2}})\times m\times n}$ repare que ${\displaystyle S=pr}$

${\displaystyle S^{2}=S\times cotg({\frac {a}{2}})\times m\times n}$

assim, ${\displaystyle S=cotg({\frac {a}{2}})*m*n}$

CASO ESPECIAL se ${\displaystyle a={\pi \over 2}}$, ${\displaystyle S=mn}$

Referências