Кампаццо начал свою профессиональную карьеру на родине в чемпионате Аргентины за клуб «Пеньяроль» в 2008 году, с которым четырежды становился чемпионом страны (2010, 2011, 2012 и 2014), выигрывал Кубок Аргентины (2010) и Лигу ФИБА Америка (2010). Он был признан открытием чемпионата Аргентины 2010 года, MVP Кубка Аргентины 2010 года, самым прогрессирующим игроком чемпионата Аргентины (2012) и дважды MVP финала чемпионата Аргентины (2012 и 2014).
Карьера в Испании
30 августа 2014 года Кампаццо подписал трёхлетний контракт с испанским клубом «Реал Мадрид»[1]. В сезоне 2014/2015 вместе с «Реалом» выиграл Евролигу в финале победив греческий «Олимпиакос» 78—59[2]. В том же сезоне «Реал» выиграл регулярный чемпионат Испании, а затем в финале плей-офф без проблем в трёх матчах обыграли «Барселону». В итоге в сезоне 2014/2015 «Реал» вместе с Кампаццо выиграл все 3 основных турнира, в которых участвовал, в том числе и Кубок Испании[3].
20 августа 2015 года Кампаццо был отправлен в аренду в клуб «Мурсия»[4]. В «Мурсии» он выступал 2 сезона, после чего в сезоне 2017/2018 вернулся в «Реал».
В мае 2018 года Кампаццо второй раз стал чемпионом Евролиги, «Реал» в финале обыграл турецкий «Фенербахче» 85—80[5]. 24 мая 2018 года Кампаццо финишировал на 4-м месте в голосовании за звание MVP чемпионата Испании[6].
26 июня 2018 года Кампаццо переподписал контракт с «Реалом» на 3 сезона[7]. 3 мая 2019 года он получил звание самого ценного игрока Евролиги в апреле. В матче за 3-е место в финале четырёх Евролиги Кампаццо отдал рекордные для финалов четырёх 15 результативных передач[8].
6 февраля 2020 года Кампаццо повторил рекорд Стефана Йовича по результативным передачам в отдельном взятом матче Евролиги (19 ассистов)[9].
18 июля 2023 года Кампаццо официально вернулся в «Реал», подписав четырехлетний контракт[10].
Карьера в НБА
30 ноября 2020 года Кампаццо подписал многолетний контракт с клубом НБА «Денвер Наггетс»[11].
19 ноября 2022 года Кампаццо перешёл в «Даллас», где воссоединился с Лукой Дончичем, с которым ранее играл за «Реал». Кампаццо начал сезон-2022/23 в «Далласе», но был отчислен в связи с приходом в команду Кембы Уокера.
Карьера в Сербии
В декабре 2022 года Кампаццо официально стал игроком «Црвены Звезды», заключив 2-летнее соглашение с сербским клубом (до конца сезона-2023/24).
13 июля 2023 года «Црвена Звезда» объявила, что Кампаццо покидает клуб[12].