Си́мволы Кристо́ффеля (или кристоффели) — коэффициенты координатного выражения аффинной связности, в частности, связности Леви-Чивиты. Названы в честь Эльвина Бруно Кристоффеля. Используются в дифференциальной геометрии, общей теории относительности и близких к ней теориях гравитации. Появляются в координатном выражении тензора кривизны. При этом сами символы тензорами не являются.

Обычно обозначаются ${\displaystyle \Gamma _{ij}^{k}}$; иногда, следуя первоначальному обозначению Кристоффеля, используется^[1] символ ${\displaystyle \{{\begin{smallmatrix}k\\ij\end{smallmatrix}}\}.}$

Ниже используется правило суммирования Эйнштейна, то есть по повторяющимся верхнему и нижнему индексам подразумевается суммирование.

Символы впервые появились в статье Кристоффеля «О преобразовании однородных дифференциальных выражений второй степени» (нем. Über die Transformation der homogenen Differentialausdrücke zweiten Grades — J. fur Math., № 70, 1869). В ней автор рассмотрел условия совпадения римановой геометрии, определяемой двумя различными метрическими формами. Независимо от Кристоффеля аналогичную задачу решил Рудольф Липшиц, чья статья появилась годом позже^[1].

Наглядное представление о символах Кристоффеля можно получить на примере полярной системы координат. В этой системе координатами точки являются расстояние ${\displaystyle {r}}$ от неё до полюса и угол ${\displaystyle \varphi }$ направления от полярной оси.

Координатами вектора, как и в прямоугольной системе координат, следует считать дифференциалы (бесконечно малые приращения) этих величин: ${\displaystyle ({\rm {d}}r,\,{\rm {d}}\varphi )}$.

Пусть есть вектор ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ с компонентами ${\displaystyle (a,\,\alpha )}$, где ${\displaystyle a}$ имеет геометрический смысл проекции вектора ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ на радиальный луч (проходящий через начало вектора), а ${\displaystyle \alpha }$ — угол, под которым вектор виден из полюса. В прямоугольной системе координат компоненты вектора не меняются при параллельном переносе. В полярной системе координат это не так (см. рис 1 и 2).

Символы Кристоффеля как раз и выражают изменение компонент вектора при его параллельном переносе.

При смещении вектора вдоль радиального луча на расстояние ${\displaystyle {\rm {d}}r}$, его компонента ${\displaystyle a}$, очевидно, не меняется, но вторая его координата (${\displaystyle \alpha }$) уменьшается (рис. 1). Величина вектора ${\displaystyle |A|^{2}=a^{2}+r^{2}\alpha ^{2}}$ остаётся неизменной, поэтому ${\displaystyle a^{2}+(r+{\rm {d}}r)^{2}(\alpha +{\rm {d}}\alpha )^{2}=a^{2}+r^{2}\alpha ^{2}}$. Отсюда получается (пренебрежением величинами второго и большего порядков малости):

${\displaystyle {\rm {d}}\alpha =-{\frac {1}{r}}\,\alpha \,{\rm {d}}r.}$

При параллельном переносе вдоль дуги меняются обе координаты ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle \alpha }$ (рис. 2). Очевидно, ${\displaystyle \alpha ={\frac {A}{r}}\sin \lambda }$, ${\displaystyle a=A\cos \lambda }$, и ${\displaystyle {\rm {d}}\lambda =-{\rm {d}}\varphi }$ поэтому:

${\displaystyle {\rm {d}}\alpha =-{\frac {1}{r}}\,a\,{\rm {d}}\varphi .}$

Кроме этого, так как ${\displaystyle a=A\cos \lambda }$, ${\displaystyle {\rm {d}}\lambda =-{\rm {d}}\varphi }$, и ${\displaystyle A\sin \lambda =r\alpha }$, то

${\displaystyle {\rm {d}}a=-(-r)\,\alpha \,{\rm {d}}\varphi .}$

При произвольном малом смещении вектора (когда меняются и ${\displaystyle r}$, и ${\displaystyle \varphi }$) изменения компонент надо складывать:

${\displaystyle {\rm {d}}a=-(-r)\,\alpha \,{\rm {d}}\varphi .}$

${\displaystyle {\rm {d}}\alpha =-{\frac {1}{r}}\,\alpha \,{\rm {d}}r-{\frac {1}{r}}\,a\,{\rm {d}}\varphi .}$

Полученные выражения имеют общую структуру: изменение компонент вектора пропорционально всем компонентам вектора и пропорционально величине сдвига вектора. Коэффициенты пропорциональности (без общего минуса) и называются символами Кристоффеля.

В более общих обозначениях ${\displaystyle x^{1}=r}$, ${\displaystyle x^{2}=\varphi }$, ${\displaystyle {A^{1}=a}}$ и ${\displaystyle A^{2}=\alpha }$ можно записать (имея в виду сумму по повторяющимся индексам):

${\displaystyle {\rm {d}}A^{i}=-\Gamma _{kl}^{i}A^{k}{\rm {d}}x^{l}.}$

Здесь символы Кристоффеля ${\displaystyle {\Gamma _{22}^{1}=-r}}$, ${\displaystyle \Gamma _{12}^{2}=\Gamma _{21}^{2}=1/r}$, а все остальные равны нулю.

В прямоугольной системе координат все символы Кристоффеля равны нулю, так как компоненты вектора не изменяются при параллельном переносе. Из этого можно сделать вывод, что символы Кристоффеля не образуют тензор: если тензор равен нулю в какой-либо системе координат, то он равен нулю во всех остальных системах координат.

Символы Кристоффеля второго рода ${\displaystyle \Gamma _{ij}^{k}}$ можно определить как коэффициенты разложения ковариантной производной координатных векторов ${\displaystyle \partial _{i}={\frac {\partial }{\partial x^{i}}}}$ по базису:

${\displaystyle \nabla _{\partial _{j}}\partial _{i}=\Gamma _{ij}^{k}\partial _{k}.}$

Символы Кристоффеля первого рода ${\displaystyle \Gamma _{n,ij}^{}}$:

${\displaystyle \Gamma _{n,ij}=g_{kn}\Gamma _{ij}^{k}={\tfrac {1}{2}}\left({\frac {\partial g_{in}}{\partial x^{j}}}+{\frac {\partial g_{jn}}{\partial x^{i}}}-{\frac {\partial g_{ij}}{\partial x^{n}}}\right).}$

Символы Кристоффеля связности Леви-Чивиты для карты ${\displaystyle x^{i}}$ могут быть определены из отсутствия кручения, то есть,

${\displaystyle \Gamma ^{i}{}_{jk}=\Gamma ^{i}{}_{kj},}$

и того условия, что ковариантная производная метрического тензора ${\displaystyle g_{ik}}$ равна нулю:

${\displaystyle 0=\nabla _{\ell }g_{ik}={\frac {\partial g_{ik}}{\partial x^{\ell }}}-g_{mk}\Gamma ^{m}{}_{i\ell }-g_{im}\Gamma ^{m}{}_{k\ell }.}$

Для сокращения записи символ набла ${\displaystyle \nabla }$ и символы частных производных часто опускаются, вместо них перед индексом, по которому производится дифференцирование, ставится точка с запятой «;» в случае ковариантной и запятая «,» в случае частной производной. Таким образом, выражение выше можно также записать как

${\displaystyle 0=g_{ik;\ell }=g_{ik,\ell }-g_{mk}\Gamma ^{m}{}_{i\ell }-g_{im}\Gamma ^{m}{}_{k\ell }.}$

Явные выражения для символов Кристоффеля второго рода получаются, если сложить это уравнение и другие два уравнения, которые получаются циклической перестановкой индексов:

${\displaystyle \Gamma ^{i}{}_{k\ell }={\frac {1}{2}}g^{im}\left({\frac {\partial g_{mk}}{\partial x^{\ell }}}+{\frac {\partial g_{m\ell }}{\partial x^{k}}}-{\frac {\partial g_{k\ell }}{\partial x^{m}}}\right)={\frac {1}{2}}g^{im}(g_{mk,\ell }+g_{m\ell ,k}-g_{k\ell ,m}),}$

где ${\displaystyle g^{ij}}$ — контравариантное представление метрики, которое есть матрица, обратная к ${\displaystyle g_{ij}}$, находится путём решения системы линейных уравнений ${\displaystyle g^{ij}g_{jk}=\delta _{k}^{i}}$.

Инвариантные обозначения для связности абстрагируются от конкретной системы координат и поэтому более предпочтительны при доказательстве математических теорем.

Пусть X и Y — векторные поля с компонентами ${\displaystyle X^{i}}$ и ${\displaystyle Y^{k}}$. Тогда k-я компонента ковариантной производной поля Y по отношению к X задается выражением

${\displaystyle \left(\nabla _{X}Y\right)^{k}=X^{i}\nabla _{i}Y^{k}=X^{i}\left({\frac {\partial Y^{k}}{\partial x^{i}}}+\Gamma ^{k}{}_{im}Y^{m}\right).}$

Условие отсутствия кручения у связности:

${\displaystyle \nabla _{X}Y-\nabla _{Y}X=[X,Y]}$

эквивалентно симметричности символов Кристоффеля по двум нижним индексам:

${\displaystyle \Gamma ^{i}{}_{jk}=\Gamma ^{i}{}_{kj}.}$

Несмотря на то, что символы Кристоффеля записываются в тех же обозначениях, что и компоненты тензоров, они не являются тензорами, потому что не преобразуются как тензоры при переходе в новую систему координат. В частности, выбором координат в окрестности любой точки символы Кристоффеля могут быть локально сделаны равными нулю (или обратно ненулевыми), что невозможно для тензора.

При замене переменных ${\displaystyle (x^{1},\dots ,x^{n})\ }$ на ${\displaystyle (y^{1},\dots ,y^{n})}$ базисные векторы преобразуются ковариантно:

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial y^{i}}}={\frac {\partial x^{k}}{\partial y^{i}}}{\frac {\partial }{\partial x^{k}}},}$

откуда следует формула преобразования символов Кристоффеля:

${\displaystyle {{\bar {\Gamma }}^{k}{}_{ij}}={\frac {\partial x^{p}}{\partial y^{i}}}\,{\frac {\partial x^{q}}{\partial y^{j}}}\,\Gamma ^{r}{}_{pq}\,{\frac {\partial y^{k}}{\partial x^{r}}}+{\frac {\partial y^{k}}{\partial x^{r}}}\,{\frac {\partial ^{2}x^{r}}{\partial y^{i}\partial y^{j}}}.}$

Черта означает систему координат y. Таким образом, символы Кристоффеля не преобразуются как тензор. Они представляют собой более сложный геометрический объект в касательном пространстве с нелинейным законом преобразования от одной системы координат к другой.

Примечание. Можно заметить, например, из определения, что первый индекс является тензорным, то есть по нему символы Кристоффеля преобразуются как тензор.

Пользуясь выражением символа через метрический тензор, либо преобразованием координат, можно получить значения их в любой системе координат. В механике и физике чаще всего используются ортогональные криволинейные системы координат. В этом случае символы Кристоффеля с равными коэффициентами выражаются через коэффициенты Ламе (диагональные элементы метрического тензора) ${\displaystyle H_{\beta }}$, а все остальные равны нулю.

Символы Кристоффеля первого рода выражаются так:

${\displaystyle \Gamma _{\beta \beta ,\gamma }=-H_{\beta }H_{\gamma }{\frac {\partial H_{\beta }}{\partial x^{\gamma }}}}$ при ${\displaystyle \beta \neq \gamma ,}$

${\displaystyle \Gamma _{\beta \gamma ,\beta }=H_{\beta }{\frac {\partial H_{\beta }}{\partial x^{\gamma }}}.}$

Символы Кристоффеля второго рода:

${\displaystyle \Gamma _{\beta \beta }^{\gamma }=-{\frac {H_{\beta }}{H_{\gamma }^{2}}}{\frac {\partial H_{\beta }}{\partial x^{\gamma }}}}$ при ${\displaystyle \beta \neq \gamma ,}$

${\displaystyle \Gamma _{\beta \gamma }^{\beta }=\Gamma _{\gamma \beta }^{\beta }={\frac {1}{H_{\beta }}}{\frac {\partial H_{\beta }}{\partial x^{\gamma }}}.}$

Значения для распространённых систем координат:

• В декартовой системе координат ${\displaystyle \{x,y,z\}}$: ${\displaystyle \Gamma _{ij}^{k}\equiv 0}$, поэтому ковариантная производная совпадает с частной производной.
• В цилиндрической системе координат ${\displaystyle \{r,\phi ,z\}}$: ${\displaystyle \Gamma _{22}^{1}=-r}$, ${\displaystyle \Gamma _{21}^{2}=\Gamma _{12}^{2}={\frac {1}{r}}}$. Остальные равны нулю.
• В сферической системе координат ${\displaystyle \{r,\theta ,\phi \}}$: ${\displaystyle \Gamma _{22}^{1}=-r}$, ${\displaystyle \Gamma _{33}^{1}=-r\sin ^{2}\theta }$, ${\displaystyle \Gamma _{21}^{2}=\Gamma _{12}^{2}=\Gamma _{13}^{3}=\Gamma _{31}^{3}={\frac {1}{r}}}$, ${\displaystyle \Gamma _{33}^{2}=-\cos \theta \sin \theta }$, ${\displaystyle \Gamma _{23}^{3}=\Gamma _{32}^{3}=\operatorname {ctg} \theta }$. Остальные равны нулю.

Разница двух аффинных связностей

${\displaystyle \Gamma _{X}Y=\nabla _{X}Y-{\tilde {\nabla }}_{X}Y}$

является тензором. В случае если ${\displaystyle {\tilde {\nabla }}}$ определяется в карте как связность в которой тензорные поля с постоянными компонентами параллельны, кристоффели ${\displaystyle \Gamma _{jk}^{i}}$ являются компонентами полученного тензора ${\displaystyle \Gamma }$. В этом случае отсутствие кручения у обеих связностей влечёт симметрию тензора

${\displaystyle \Gamma _{X}Y=\Gamma _{Y}X}$.

Можно выбрать другую базовую связность ${\displaystyle {\tilde {\nabla }}}$. Например, объявив параллельным произвольное поле ортонормированных реперов; так это делается в методе подвижного репера. Поскольку в этом случае связность ${\displaystyle {\tilde {\nabla }}}$ может иметь ненулевое кручение, то вообще говоря ${\displaystyle \Gamma _{X}Y\neq \Gamma _{Y}X}$. Однако поскольку обе связности римановы, выполняется другое, не менее полезное соотношение:

${\displaystyle \langle \Gamma _{X}Y,Z\rangle +\langle Y,\Gamma _{X}Z\rangle =0}$.

Иначе говоря ${\displaystyle \Gamma }$ является 1-формой на многообразии со значениями ${\displaystyle \Gamma _{X}}$ в антисимметрических операторах на касательном пространстве.

• Геодезическая
• Символ Леви-Чивиты

• Димитриенко Ю. И. Тензорное исчисление. — М.: Высшая школа, 2001. — 575 с. — ISBN 5-06-004155-7.

• Победря Б. Е. Лекции по тензорному анализу. — М.: Издательство Московского университета, 1974. — 206 с.

• Чернавский А. В. Дифференциальная геометрия, 2 курс.