Теорема Минковского о многогранниках

Теорема единственности Минковского: Если между гранями двух замкнутых выпуклых многогранников установлено взаимно-однозначное соответствие так, что (i) единичные нормали к соответствующим граням совпадают и (ii) площади соответствующих граней одинаковы, то многогранники получаются один из другого параллельным переносом (и, в частности, они конгруэнтны).

Теорема существования Минковского: Если ${\displaystyle {\mathbf {n} }_{1},\dots ,{\mathbf {n} }_{k}}$ — произвольные единичные векторы, не все направленные в одно полупространство, и ${\displaystyle S_{1},\dots ,S_{k}}$ — произвольные положительные числа, причём ${\displaystyle S_{1}{\mathbf {n} }_{1}+\ldots +S_{k}{\mathbf {n} }_{k}={\mathbf {0} }}$, то существует выпуклый многогранник, для которого векторы ${\displaystyle {\mathbf {n} }_{1},\dots ,{\mathbf {n} }_{k}}$ (и только они) являются векторами внешних единичных нормалей к граням, а числа ${\displaystyle S_{1},\dots ,S_{k}}$ являются площадями граней.