Мера Лебега

У математици, мера Лебега, је стандардан начин за додељивање дужине, површине или запремине подскуповима Еуклидског простора. Добила је име по француском математичару Анрију Лебегу. Користи се у реалној анализи, у дефинисању Лебегове интеграције. Скупови којима се може придружити запремина се називају Лебег мерљивим; запремина или мера Лебег мерљивог скупа A се означава са λ(A). Дозвољава се да скуп буде Лебег мере ∞.

Уз претпоставку аксиоме избора, нису сви подскупови од Rⁿ Лебег мерљиви, нити се може на скупу свих подскупова овог простора дефинисати мера која би задовољавала уобичајене аксиоме укључујући и σ-адитивност. Необично понашање немерљивих скупова доводи до контраинтуитивних исказа као што је парадокс Банаха-Тарског, који представља последицу аксиоме избора.

Унутар интеграла по Лебегу, мера Лебега се често означава са ${\displaystyle \mathrm {d} x}$, али ово не треба мешати са другачијим појмом запреминске форме.

• Ако је A затворен интервал [a, b], онда је његова мера Лебега једнака дужини b−a. Отворени интервал (a, b) има исту меру, јер разлика између ова два скупа има меру нула.
• Ако је A Декартов производ интервала [a, b] и [c, d], онда се ради о правоугаонику, и његова мера Лебега је површина (b−a)(d−c).
• Канторов скуп је пример непребројивог скупа чија мера Лебега је једнака нули.

Лебегова мера на Rⁿ има следећа својства:

1. Ако је A Декартов производ интервала I₁ × I₂ × ... × I_n, онда је A Лебег мерљив, и ${\displaystyle \lambda (A)=|I_{1}|\cdot |I_{2}|\cdots |I_{n}|.}$ Овде ${\displaystyle |I|}$ означава дужину интервала I.
2. Ако је A дисјунктна унија коначно много или пребројиво много дисјунктних Лебег мерљивих скупова, онда је и сам скуп A Лебег мерљив и λ(A) је једнако збиру (односно суми реда уколико је број сабирака бесконачан) мера скупова који припадају унији.
3. Ако је A Лебег мерљив, онда је и његов комплемент Лебег мерљив.
4. λ(A) ≥ 0 за сваки Лебег мерљив скуп A.
5. Ако су A и B Лебег мерљиви и A је подскуп од B, онда је λ(A) ≤ λ(B). (последица тачака 2, 3 и 4.)
6. Пребројиве уније и пресеци Лебег мерљивих скупова су Лебег мерљиви.^[1]
7. Ако је A отворен или затворен подскуп од Rⁿ (или чак Борелов скуп), онда је A Лебег мерљив.
8. Ако је A Лебег мерљив скуп, онда је он „приближно отворен“ и „приближно затворен“ у смислу мере Лебега (видети: теорема регуларности за меру Лебега).
9. Мера Лебега је уједно и локално коначна и регуларна изнутра, па је она и Радонова мера.
10. Мера Лебега је строго позитивна на непразним отвореним скуповима, па је њен носач цео простор Rⁿ.
11. Ако је A Лебег мерљив скуп са λ(A) = 0 (скуп мере нула), онда је сваки подскуп од A такође скуп мере нула. А фортиори је сваки подскуп од A мерљив.
12. Ако је A Лебег мерљив и x је елемент од Rⁿ, онда је транслат скупа A за x, дефинисан као A + x = {a + x : a ∈ A}, такође Лебег мерљив и има исту меру као A.
13. Ако је A Лебег мерљив, и ${\displaystyle \delta >0}$, онда је дилатација ${\displaystyle A}$ фактором ${\displaystyle \delta }$, дефинисана као ${\displaystyle \delta A=\{\delta x:x\in A\}}$ такође Лебег мерљива и има меру ${\displaystyle \delta ^{n}\lambda \,(A)}$.
14. Општије, ако је T линеарна трансформација и A је мерљив подскуп од Rⁿ, онда је T(A) такође Лебег мерљив скуп и има меру ${\displaystyle |\det(T)|\lambda (A)}$.

Сви горњи искази се могу сумирати на следећи начин:

Лебег мерљиви скупови граде σ-алгебру која садржи све производе интервала и λ је јединствена комплетна транслационо-инваријантна мера на тој σ-алгебри таква да је ${\displaystyle \lambda ([0,1]\times [0,1]\times \cdots \times [0,1])=1.}$

Лебег мера такође има својство да је σ-коначна.

Подскуп од Rⁿ је нула скуп ако, за свако ε > 0, може да буде покривен помоћу пребројиво много производа интервала чији је укупна запремина највише ε. Сви пребројиви скупови су нула скупови.

Ако подскуп од Rⁿ има Хаусдорфову димензију мању од n онда је он нула скуп у односу на n-димензиону Лебег меру. Овде је Хаусдорфова димензија у вези са еуклидском метриком на Rⁿ (или било којом метриком која је са њом Липшиц-инваријантна). Са друге стране, скуп може да има тополошку димензију мању од n, а да има позитивну n-димензиону Лебег меру. Пример овога је Сми-Волтера-Канторов скуп чија је тополошка димензија 0 а ипак има позитивну 1-димензиону меру Лебега.

Како би се показало да је дати скуп A Лебег мерљив, обично се тражи згоднији скуп B, који се од A разликује само за нула скуп (у смислу да је симетрична разлика A Δ B = (A − B) ∪ (B − A) нула скуп) и онда се покаже да се B може генерисати коришћењем пребројивих унија и пресека отворених или затворених скупова (односно, да је B Борелов скуп). За сваки Лебег мерљив скуп постоји Борел мерљив скуп B такав да је A Δ B нула скуп.

Модерну конструкцију мере Лебега засновану на спољашњим мерама, је дао Каратеодори.

Фиксира се ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$. Кутија у ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ је скуп облика ${\displaystyle B=\prod _{i=1}^{n}[a_{i},b_{i}]}$, где је ${\displaystyle b_{i}\geq a_{i}}$. Запремина ${\displaystyle \operatorname {vol} (B)}$ ове кутије се дефинише као ${\displaystyle \prod _{i=1}^{n}(b_{i}-a_{i}).}$

За сваки подскуп A од Rⁿ, може се дефинисати његова спољашња мера ${\displaystyle \lambda ^{*}(A)}$ као:

${\displaystyle \lambda ^{*}(A)=\inf {\Bigl \{}\sum _{j\in J}\operatorname {vol} (B_{j}):\{B_{j}:j\in J\}{\text{ je prebrojiva kolekcija kutija cija unija pokriva }}A{\Bigr \}}.}$

Затим се дефинише да је скуп A Лебег мерљив ако

${\displaystyle \lambda ^{*}(S)=\lambda ^{*}(S\cap A)+\lambda ^{*}(S-A)}$

за све скупове ${\displaystyle S\subset \mathbb {R} ^{n}}$. Ови Лебег мерљиви скупови формирају σ-алгебру, и мера Лебега се дефинише на овој σ-алгебри као λ(A) = λ^*(A) за сваки Лебег мерљив скуп A.

По Виталијевој теореми постоји подскуп реалних бројева R, такав да није Лебег мерљив. Важи и много више: ако је A било који подскуп од ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ позитивне мере, онда A има подскупове који нису Лебег мерљиви.

Борелова мера је сагласна са мером Лебега на оним скуповима на којима је дефинисана; међутим, постоје много више Лебег мерљивих скупова него Борел мерљивих скупова. Прецизније, може се показати да је σ-алгебра Борел мерљивих скупова кардиналности c (кардиналност континуума), док је σ-алгебра Лебег мерљивих скупова строго веће кардиналности 2^c (види Канторов дијагонални поступак). Борелова мера је транслационо-инваријантна, али није комплетна.

Мера Хара се може дефинисати на свакој локално компактној групи и представља уопштење мере Лебега (која представља меру Хара на Rⁿ са структуром локално компактне групе у односу на сабирање).

Хаусдорфова мера (видети: Хаусдорфова димензија) је уопштење мере Лебега које је корисно за мерење подскупова од Rⁿ димензија мањих од n, као што су подмногострукости на пример, површи или криве у R³. Не треба мешати Хаусдорфову меру и појам Хаусдорфове димензије.

Може се показати да не постоји аналогон мере Лебега у просторима бесконачне димензије.

Мера Лебега даје један појам „малих скупова“, наиме скупова мере нула, за које кажемо да су „мали“ у смислу теорије мере. Постоје и други појмови „малих скупова“, као што су, на пример пребројиво бесконачни скупови („мали“ у смислу кардиналности) или скупови прве категорије („мали“ у тополошком смислу Берове теорије категорија). Ови појмови нису увек компатибилни; на пример, интервал [0,1] се може представити као дисјунктна унија скупа прве категорије и скупа мере нула.

Анри Лебег је ову меру описао 1901, а следеће године је описао Лебегову интеграцију. И један и други појам су објављени као део његове дисертације 1902.

• Лебегова теорема о густини