การบวก

การบวก (มักแทนด้วยเครื่องหมายบวก "+") คือหนึ่งในการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ของเลขคณิตมูลฐาน นอกจากการบวกยังมีการลบ การคูณ และการหาร การบวกจำนวนสองจำนวนคือผลรวมของปริมาณสองปริมาณรวมกัน ตัวอย่างเช่น ในภาพด้านขวาเป็นการรวมแอปเปิล 3 ผลกับแอปเปิล 2 ผลเข้าด้วยกัน หลายเป็นแอปเปิล 5 ผล ดังนั้นจึงเหมือนกับว่ามีแอปเปิล 5 ผล การกระทำเช่นนี้เทียบเท่ากับนิพจน์ทางคณิตศาสตร์ว่า "3 + 2 = 5" หมายความว่า "3 บวก 2 เท่ากับ 5" เป็นต้น

นอกจากการนับผลไม้แล้ว การบวกสามารถใช้แทนการรวมวัตถุอื่น ๆ การบวกสามารถนิยามด้วยสมบัติที่เป็นนามธรรมมากขึ้น เช่น จำนวนเต็ม จำนวนตรรกยะ จำนวนจริง จำนวนเชิงซ้อน และวัตถุนามธรรมอื่น ๆ เช่น เวกเตอร์ และเมทริกซ์ ฯลฯ

ในเลขคณิตมีกฎของการบวกที่เกี่ยวกับ และจำนวนลบและจำนวนไม่เป็นลบ ถูกคิดค้นขึ้นใหม่ ในทางพีชคณิต การศึกษาการบวกนั้นเป็นไปในเชิงนามธรรมมากขึ้น

การบวกมีสมบัติที่สำคัญหลายประการ การบวกมี หมายความว่าลำดับไม่สำคัญ และมี หมายความว่าเมื่อจำนวนหนึ่งบวกกับจำนวนมากกว่าสองจำนวน ลำดับในการบวกก่อนหลังนั้นไม่สำคัญ (ดู ผลรวม) การบวก 1 ซ้ำ ๆ มีความหมายเหมือนการนับ การบวกด้วย 0 จะไม่ทำให้จำนวนเปลี่ยนแปลง การบวกยังสามารถคล้อยตามกฎที่ทำนายได้ของการดำเนินการอื่น ๆ ได้แก่ การลบ และการคูณ

การบวกจำนวนน้อย ๆ สามารถเรียนรู้ได้ตั้งแต่วัยเด็กหัดเดิน เด็กทารกอายุห้าเดือน และแม้กระทั่งสัตว์บางชนิดก็สามารถคำนวณงานพื้นฐานที่สุดอย่าง 1 + 1 ได้ ในระดับประถมศึกษา นักเรียนจะได้เรียนรู้การบวกจำนวนในระบบเลขฐานสิบ โดยเริ่มต้นจากเลขหลักเดียว และพัฒนาการแก้ปัญหาที่ยากขึ้น เครื่องมือช่วยคำนวณการบวกก็แตกต่างกันไปตั้งแต่ลูกคิดโบราณจนไปถึงคอมพิวเตอร์สมัยใหม่ ซึ่งยังมีงานวิจัยเรื่องวิธีการบวกที่มีประสิทธิภาพมากที่สุดเรื่อยมาถึงทุกวันนี้

ปกติการบวกเขียนแทนด้วยเครื่องหมายบวก (+) ใส่ไว้ระหว่างพจน์แบบสัญกรณ์เติมกลาง ผลลัพธ์ของการบวกจะถูกแสดงด้วยเครื่องหมายเท่ากับ (=) ตัวอย่างเช่น

1 + 1 = 2 (อ่านว่า หนึ่งบวกหนึ่งเท่ากับสอง)

2 + 2 = 4

5 + 4 + 2 = 11

3 + 3 + 3 + 3 = 12 (ดูเพิ่มที่ การคูณ)

แต่ก็มีบางสถานการณ์ที่สามารถทำให้เข้าใจได้ว่าเป็นการบวก แม้จะไม่มีเครื่องหมายบวกอยู่ก็ตาม ตัวอย่างเช่น

• จำนวนตัวเลขที่เรียงกันตามแนวตั้ง ซึ่งบรรทัดล่างสุดมีขีดเส้นใต้ ปกติแล้วจำนวนจะถูกจัดวางให้ตรงหลักตามแนวตั้งเพื่อบวกเข้าด้วยกัน และผลบวกจะเขียนไว้ที่ใต้จำนวนสุดท้ายนั้น
• จำนวนเต็มที่เขียนต่อด้วยเศษส่วนทันที จะให้ผลหมายถึงสองจำนวนนั้นบวกกันเรียกว่า จำนวนคละ (mixed number) ^[2] เช่น 3½ = 3 + ½ = 3.5 แต่สัญกรณ์เช่นนี้อาจทำให้เกิดความสับสนกับการคูณที่ไม่แสดงเครื่องหมาย (juxtaposition) ที่มีใช้ในบริบทอื่นๆ

จำนวนหรือวัตถุที่จะบวกเข้าด้วยกันโดยทั่วไปเรียกว่า พจน์ (term) ตัวบวก (addend) หรือ ส่วนของผลบวก (summand) ซึ่งศัพท์คำสุดท้ายนี้นำไปใช้อธิบายผลรวมของพจน์ที่เป็นพหุคูณ ผู้แต่งตำราบางท่านเรียกตัวบวกจำนวนแรกว่า ตัวตั้งบวก (augend) เนื่องจากข้อเท็จจริงในช่วงยุคฟื้นฟูศิลปวิทยา ผู้แต่งตำราหลายท่านไม่นับว่าจำนวนแรกในการบวกเป็น "ตัวบวก" แต่ในทุกวันนี้คำว่า "ตัวตั้งบวก" มีการใช้น้อย และทั้งสองคำก็หมายถึงตัวบวกได้เหมือนกัน ^[3]

การบวกใช้สำหรับจำลองกระบวนการทางกายภาพได้อย่างนับไม่ถ้วน แม้แต่กรณีที่ง่ายที่สุดของการบวกจำนวนธรรมชาติ ก็มีการแปลความหมายที่เป็นไปได้มากมาย รวมไปถึงการนำเสนอด้วยภาพ

การแปลความหมายของการบวกในระดับเบื้องต้น สามารถแสดงได้ด้วยการรวมกลุ่มวัตถุเข้าด้วยกัน นั่นคือ

• เมื่อวัตถุสองกลุ่มหรือมากกว่าเข้ามารวมกันเป็นกลุ่มเดียว จำนวนวัตถุในกลุ่มเดียวนั้นคือผลรวมของจำนวนวัตถุของแต่ละกลุ่มในตอนแรก

การแปลความหมายเช่นนี้สามารถแสดงให้เห็นได้ด้วยภาพ ซึ่งอาจจะมีความกำกวมบ้างเล็กน้อย ความหมายนี้มีประโยชน์ต่อคณิตศาสตร์ในระดับสูงขึ้นไป โดยเฉพาะการนิยามเป็นต้น อย่างไรก็ตามการอธิบายด้วยการรวมกลุ่มอาจให้ความหมายไม่ชัดเจน เมื่อขยายการบวกออกไปบนเศษส่วนหรือจำนวนลบเป็นอาทิ ^[4]

หนทางหนึ่งที่เป็นไปได้ คือการพิจารณาว่ากลุ่มของวัตถุเหล่านั้นสามารถตัดแบ่งได้โดยง่าย เหมือนกับขนมพายหรือท่อนไม้ ^[5] มากกว่าเพียงแค่การรวมกลุ่มของวัตถุเข้าด้วยกัน เราสามารถนำปลายของท่อนไม้มาต่อกัน เพื่อแสดงอีกแนวความคิดหนึ่งของการบวก นั่นคือการบวกไม่ได้นับที่จำนวนท่อนไม้ แต่หมายถึงความยาวรวมของท่อนไม้

การแปลความหมายอย่างที่สองของการบวก มาจากการต่อความยาวขนาดเริ่มต้น ด้วยความยาวอีกขนาดหนึ่ง นั่นคือ

• เมื่อความยาวตั้งต้นถูกขยายโดยปริมาณที่ให้มา ความยาวสุดท้ายคือผลรวมของความยาวตั้งต้นกับความยาวของส่วนที่ขยายออกไป

ผลบวกของ a + b สามารถแปลผลได้ในฐานะของการดำเนินการทวิภาค (ในความคิดทางพีชคณิต) ว่าเป็นการประสานกันระหว่าง a กับ b หรือหมายถึงการเพิ่มจาก a ไปเป็นจำนวน b สำหรับภายใต้การแปลความหมายอย่างหลัง ส่วนต่างๆ ของผลบวก a + b จึงมีบทบาทโดยไม่สมมาตร อาจมองได้ว่าเป็นการดำเนินการเอกภาค "+b" บน a และกรณีเช่นนี้จะถือว่า a เป็นตัวตั้งบวก แทนที่จะเป็นตัวบวกทั้งคู่ การมองให้เป็นการดำเนินการเอกภาคมีประโยชน์สำหรับอธิบายการลบ เพราะว่าการบวกแบบเอกภาคเป็นตัวผกผัน (inverse) ของการลบแบบเอกภาค และในทางกลับกันด้วย887

การบวกมีสมบัติการสลับที่ หมายความว่าเราสามารถสลับเปลี่ยนจำนวนที่อยู่ข้างซ้ายและขวาของเครื่องหมายบวกได้ โดยผลลัพธ์ยังคงเดิม สมมติให้ a และ b เป็นจำนวนสองจำนวนใดๆ แล้ว

a + b = b + a

ข้อเท็จจริงว่าการบวกสามารถสลับที่ได้ รู้จักกันว่าเป็น "กฎการสลับที่ของการบวก" วลีนี้ได้ชี้นำว่า ยังมีกฎการสลับที่อื่น ๆ อีก ตัวอย่างเช่น กฎการสลับที่ของการคูณเป็นต้น อย่างไรก็ตามการดำเนินการทวิภาคหลายชนิดก็ไม่มีสมบัติการสลับที่ อาทิการลบ และการหาร จึงนำไปสู่ความเข้าใจผิดเมื่อกล่าวถึงกฎการสลับที่โดยไม่ระบุให้ชัดเจน

การบวกมีสมบัติการเปลี่ยนหมู่ หมายความว่าเมื่อบวกจำนวนสามจำนวนขึ้นไป ลำดับของการดำเนินการจะไม่สำคัญ

ตัวอย่างเช่น ควรนิยามนิพจน์ a + b + c ว่าหมายถึง (a + b) + c หรือ a + (b + c) ในเมื่อการบวกสามารถเปลี่ยนหมู่ได้ ดังนั้นตัวเลือกทั้งสองจึงไม่สำคัญ สำหรับจำนวนสามจำนวนใด ๆ a, b, c เป็นจริงว่า (a + b) + c = a + (b + c) ตัวอย่างเช่น (1 + 2) + 3 = 3 + 3 = 6 = 1 + 5 = 1 + (2 + 3)

เมื่อใช้การบวกร่วมกับการดำเนินการอื่น ๆ ลำดับของการดำเนินการจะเป็นสิ่งสำคัญ สำหรับลำดับมาตรฐานของการดำเนินการ การบวกจะสำคัญน้อยกว่าการยกกำลัง รากที่ n การคูณ และการหาร แต่สำคัญเท่ากับการลบ^[6]

เมื่อบวกศูนย์เข้ากับจำนวนใด ๆ ปริมาณที่ได้จะไม่เปลี่ยนแปลง ศูนย์เป็นสมาชิกเอกลักษณ์ของการบวก หรือเรียกได้ว่าเป็นเอกลักษณ์การบวก สำหรับค่า a ใดๆ จะได้ว่า

a + 0 = 0 + a = a

กฎนี้ปรากฏเป็นครั้งแรกในตำรา พรัหมสผุฏะ สิทธานตะ (Brahmasphuta-siddhanta) เขียนโดยพรัหมคุปตะ (Brahmagupta) เมื่อ ค.ศ. 628 ถึงแม้ว่าเขาจะเขียนกฎนี้แยกออกมาเป็นสามข้อ ขึ้นอยู่กับ a ว่าเป็นจำนวนลบ จำนวนบวก หรือเป็นศูนย์ และเขาใช้ถ้อยคำอธิบายแทนการใช้สัญลักษณ์^[7] ในเวลาต่อมา มหวิระ นักคณิตศาสตร์ชาวอินเดียได้เรียบเรียงแนวความคิดนั้นเสียใหม่เมื่อประมาณ ค.ศ. 830 โดยเขียนไว้ว่า "ศูนย์จะทำให้ตัวอะไรก็ตามที่บวกเข้ามามีค่าเช่นเดิม" เทียบเท่าได้กับการดำเนินการเอกภาค 0 + a = a ^[7] ในคริสต์ศตวรรษที่ 12 ภาสกระที่ 2 ก็ได้เขียนเอาไว้ว่า "ในการบวกด้วยตัวศูนย์ หรือการลบ ปริมาณทั้งจำนวนบวกและจำนวนลบจะคงค่าเดิม" เทียบเท่าได้กับการดำเนินการเอกภาค a + 0 = a ^[7]

เมื่อกล่าวถึงจำนวนเต็ม การบวกด้วยหนึ่งยังมีบทบาทพิเศษ กล่าวคือ สำหรับจำนวนเต็ม a ใด ๆ แล้ว จำนวนเต็ม (a + 1) เป็นจำนวนเต็มที่น้อยที่สุดที่มากกว่า a เรียกว่าเป็นตัวตามหลังของ a ตัวอย่างเช่น 3 เป็นตัวตามหลังของ 2 และ 7 คือตัวตามหลังของ 6 เนื่องด้วยตัวตามหลังนี้ ค่าของ a + b ใด ๆ สามารถมองว่าเป็นตัวตามหลังลำดับที่ b ของ a ทำให้การบวกกลายเป็นการตามหลังแบบวนซ้ำ ตัวอย่างเช่น 6 + 2 คือ 8 เพราะ 8 เป็นตัวตามหลังของ 7 ซึ่งก็เป็นตัวตามหลังของ 6 อีกทีหนึ่ง ทำให้ 8 เป็นตัวตามหลังลำดับที่ 2 ของ 6

ในการบวกปริมาณทางกายภาพซึ่งมีหน่วยวัดกำกับอยู่ ปริมาณเหล่านั้นจะต้องอยู่ในหน่วยเดียวกัน ตัวอย่างเช่น ระยะความยาว 5 ฟุต หากถูกขยายออกไปอีก 2 นิ้ว ผลบวกของความยาวคือ 62 นิ้ว เนื่องจากความยาว 60 นิ้วมีความหมายเหมือนกับความยาว 5 ฟุต ในอีกทางหนึ่ง หน่วยที่ไม่สามารถเปรียบเทียบกันได้ก็จะไม่สามารถรวมกันได้ เช่นการบวกระยะทาง 3 เมตรกับพื้นที่ 4 ตารางเมตร การบวกเช่นนี้จะไร้ความหมาย การพิจารณาดังกล่าวนี้เป็นรากฐานของการวิเคราะห์เชิงมิติ (dimensional analysis)

ถ้าพจน์แต่ละพจน์ของผลบวกไม่ได้เขียนออกมาทั้งหมด เราอาจจะใช้เครื่องหมายจุดไข่ปลาแทนพจน์ที่หายไป เช่นเดียวกับการดำเนินการอื่น ๆ (เช่น การคูณ) เช่น ผลรวมของจำนวนธรรมชาติ ตั้งแต่ 1-100 อาจเขียน ${\displaystyle 1+2\cdot \cdots \cdot 99+100}$

นอกจากนี้แล้ว ผลบวกหรือผลรวมยังสามารถเขียนได้ด้วยเครื่องหมายผลรวม ซึ่งมาจากอักษรกรีกซิกมาตัวใหญ่ Σ ซึ่งนิยามการใช้ไว้ว่า

${\displaystyle \sum _{i=m}^{n}x_{i}=x_{m}+x_{m+1}+x_{m+2}+\cdots +x_{n-1}+x_{n}}$

ตัวอย่างเช่น

${\displaystyle \sum _{k=2}^{6}k^{2}=2^{2}+3^{2}+4^{2}+5^{2}+6^{2}=90}$

ถึงแม้ว่าชื่อของตัวแปรดัชนีจะไม่มีความสำคัญ เรามักจะใช้อักษรละตินช่วงกลาง (i ไปถึง q) เพื่อใช้แสดงจำนวนเต็มถ้าหากเกิดความสับสนขึ้น

บางครั้งเราอาจพบการเขียนแบบไม่เป็นทางการ โดยการตัดดัชนีและขอบเขตของผลรวมออกไป เมื่อสิ่งเหล่านี้ได้อธิบายไว้อย่างชัดเจนแล้วในบริบท เช่น

${\displaystyle \sum x_{i}^{2}}$ จะมีความหมายเทียบเท่ากับ ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}}$

หรืออาจพบรูปแบบการใส่เงื่อนไขทางตรรกะลงไปแทน ซึ่งผลรวมนั้นตั้งใจที่จะบวกค่าที่ตรงตามเงื่อนไขเข้าด้วยกันทั้งหมด ตัวอย่างเช่น

${\displaystyle \sum _{0\leq k<100}f(k)}$

คือผลรวมของ f (k) บนทุกจำนวนเต็ม k ที่อยู่ในช่วงดังกล่าว

${\displaystyle \sum _{x\in S}f(x)}$

คือผลรวมของ f (x) บนทุกสมาชิก x ในเซต S และ

${\displaystyle \sum _{d|n}\;\mu (d)}$

คือผลรวมของ μ (d) บนทุกจำนวนเต็ม d ที่หาร n ได้ลงตัว เป็นต้น

นอกจากนี้ก็ยังมีอีกทางหนึ่งเพื่อนำเสนอแทนการใช้สัญลักษณ์ผลรวมจำนวนมาก เราอาจยุบเข้าด้วยกันได้ เช่น

${\displaystyle \sum _{\ell ,\ell '}}$ จะมีความหมายเหมือนกับ ${\displaystyle \sum _{\ell }\sum _{\ell '}}$

• การนับ
• ผลรวม
• เครื่องหมายบวกและเครื่องหมายลบ
• เครื่องหมายเท่ากับ
• เลขคณิตมอดุลาร์

• การบวก