Matrise

In matemadega, in particołare inte l'alxebra liniare, na matrise ła xe un insieme de nùmari mesi in righe e cołone. ^[1]

Un exénpio de na matrise co 2 righe e 3 cołone el xe dato da:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0&5\\1&-3&0\end{pmatrix}}.}$

Łe matrisi łe xe doparàe in modo estexo in matemadega e in tute łe siense par via de ła so capacità de rapresentar vari ogeti matematici in modo utiłe e coinsixo, come i vałori che i dipende da do parametri o anca sistemi lineari, sti ultimi i li rende un strumento centrałe de anałixi matemadega .

Le peche de l'uso de le matrisi risale ai primi secoli a.C. Intel corso de ła storia, pì de na olta, i matemadeghi de epoche e posti difarenti i ga disponesto i coeficienti del sistema in forma tabulare mentre i studiava i sistemi liniari, un fato che el mostra come łe matrisi łe sipia na strutura particołarmente intuitiva e conveniente pa sti scopi. Reperti intaresanti i xe anca i quadrati latini e i quadrati magici. Xe stà soło dal XVII secoło, tutavia, che l’idea de łe matrisi ła xe stà ciapà da novo e sviłupà, prima co risultati e idee otegnùe in contesti de studio specifeghi, pì tardi co ła so xenerałixasion. El sviłupo el xe ndà vanti fin a darghe a ła teoria deła matrise ła forma che conosemo ancùo. ^[2]

Na matrise ła xe na tabeła retangołare de nùmari. Formalmente, se poe definire come funsion.

${\displaystyle A\colon \{1,\ldots ,m\}\times \{1,\ldots ,n\}\to K,}$

Ndove ${\displaystyle m}$ e ${\displaystyle n}$ i xe intieri poxitivi fisai e ${\displaystyle K}$ el xe un insieme fisà, come l’insieme dei numari reałi. Łe file orixontałi de na matrise łe xe ciamae righe, mentre łe righe verticałi łe xe ciamae cołone. Na matrise ${\displaystyle m\times n}$ xenerica la xe descrita come inte la figura sora o anca intel seguente modo (che el xe considerà pì reditisio come notasion a causa del fato che nol xe necesario diferensiare l'elemento da la stessa matrise inte le operasioni):

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}\;[A]_{1,1}&[A]_{1,2}&\cdots &[A]_{1,n}\\\;[A]_{2,1}&[A]_{2,2}&\cdots &[A]_{2,n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\;[A]_{m,1}&[A]_{m,2}&\cdots &[A]_{m,n}\end{pmatrix}}}$

Qua soto xe mostrà in ordine na matrise ${\displaystyle 4\times 3}$, na matrise a cołona e na matrise riga;

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&2&3\\1&-2&0\\4,5&0&2\\6&1&5\end{pmatrix}},\quad {\begin{pmatrix}7\\0\\\pi \end{pmatrix}},\quad {\begin{pmatrix}3&{\frac {7}{2}}&-9\end{pmatrix}}.}$

Come mostrà inte i exénpi, i vałori prexenti inte ła matrice i pol esar de vari tipi: numeri intieri (matrise intiers), reałi o anca conplesi. In tanti caxi, i vałori i xe considerài come ełementi de un canpo ${\displaystyle K}$ fissà.

So le matrisi se poe definire numarose operasion che speso le dipende anca da l'insieme in cui i xe scelti i valori de le matrisi. Da qua in vanti se supone che le matrisi le gapie tute valori rento un steso canpo ${\displaystyle K}$ fisà.

Par savèrghene de pì, vardarse anca łe voze Zonta e Sotra.

${\displaystyle [A+B]_{i,j}:=[A]_{i,j}+[B]_{i,j}.}$

Par esenpio:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&3&2\\1&0&0\\1&2&2\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0&0&5\\7&5&0\\2&1&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1+0&3+0&2+5\\1+7&0+5&0+0\\1+2&2+1&2+1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&3&7\\8&5&0\\3&3&3\end{pmatrix}}.}$

${\displaystyle [cA]_{ij}:=c[A]_{i,j}.}$

Par esenpio:

${\displaystyle 2{\begin{pmatrix}1&8&-3\\4&-2&5\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2\cdot 1&2\cdot 8&2\cdot (-3)\\2\cdot 4&2\cdot (-2)&2\cdot 5\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2&16&-6\\8&-4&10\end{pmatrix}}.}$

${\displaystyle [C]_{i,j}=Row_{i}(A)\times Col_{j}(B)=[A]_{i,1}[B]_{1,j}+[A]_{i,2}[B]_{2,j}+\cdots +[A]_{i,p}[B]_{p,j}.}$

El xe ciamà prodoto riga par cołona. Par esenpio:

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&1&2\\0&1&-3\end{pmatrix}},\qquad B={\begin{pmatrix}1&1&1\\2&5&1\\0&-2&1\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle C=AB={\begin{pmatrix}1&1&2\\0&1&-3\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&1&1\\2&5&1\\0&-2&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\,\![C]_{1,1}&[C]_{1,2}&[C]_{1,3}\\\,\![C]_{2,1}&[C]_{2,2}&[C]_{2,3}\end{pmatrix}}.}$

Se vede che moltiplegando na matrise ${\displaystyle 2\times 3}$ par una ${\displaystyle 3\times 3}$ salta fora na matrise ${\displaystyle 2\times 3}$.

Prima riga:

${\displaystyle \![C]_{1,1}=(1\cdot 1)+(1\cdot 2)+(2\cdot 0)=3;}$

${\displaystyle [C]_{1,2}=(1\cdot 1)+(1\cdot 5)+(2\cdot (-2))=2;}$

${\displaystyle [C]_{1,3}=(1\cdot 1)+(1\cdot 1)+(2\cdot 1)=4.}$

Seconda riga:

${\displaystyle [C]_{2,1}=(0\cdot 1)+(1\cdot 2)+(-3\cdot 0)=2;}$

${\displaystyle [C]_{2,2}=(0\cdot 1)+(1\cdot 5)+(-3\cdot (-2))=11;}$

${\displaystyle [C]_{2,3}=(0\cdot 1)+(1\cdot 1)+(-3\cdot 1)=-2.}$

Da cui:

${\displaystyle C={\begin{pmatrix}\,\![C]_{1,1}&[C]_{1,2}&[C]_{1,3}\\\,\![C]_{2,1}&[C]_{2,2}&[C]_{2,3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}3&2&4\\2&11&-2\end{pmatrix}}.}$

1. ↑ voze de refarensa (PDF)lumsa.it.
2. ↑ mathshistory.st-andrews.ac.uk, https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Matrices_and_determinants/ Titolo mancante par url url (juto).