Spasio vetorial

Se dixe spasio vetoriàłe sóra un canpo ${\displaystyle C}$ n'insieme ${\displaystyle V}$ cò dò operasion: ${\displaystyle +:V\times V\rightarrow V}$, ciamàda soma, che xe comutativa e ${\displaystyle *:C\times V\rightarrow V}$, ciamàda moltiplicasion par 'no scałare, che łe ga ste proprietá:

(i) ${\displaystyle \alpha *(\beta *v)=(\alpha *\beta )v}$

(ii) ${\displaystyle (\alpha +\beta )*v=\alpha *v+\beta *v}$

(iii) ${\displaystyle \alpha *(v+w)=\alpha *v+\alpha *w}$

(iv) ${\displaystyle 1*v=v}$

par ogni ${\displaystyle v,w\in V}$ e par ogni ${\displaystyle \alpha ,\beta \in C}$.

I elementi de 'no spasio vetoriałe i se ciàma vetòri. El vetòre xero el xe l'elemento ${\displaystyle 0_{V}}$ xero de ła sòma in ${\displaystyle V}$ (xe fasiłe controłàre che el sodisfa łe proprietà de sòra).

'N sotoinsieme ${\displaystyle W}$ de ${\displaystyle V}$ el se dixe sotospasio vetoriałe de ${\displaystyle V}$ (e el se scrive ${\displaystyle W\trianglelefteq V}$) se xe vera una de ste proprietà (łe xe tute conpagne, se ła xe vera una ełora łe xe vere anca łe altre dò, se una ła xe sbajà ełora łe xe sbajà anca łe altre dò):

(i) ${\displaystyle u,w\in W,\alpha ,\beta \in C\Rightarrow \alpha u+\beta w\in W}$;

(ii) ${\displaystyle u,w\in W,\alpha ,\beta \in C\Rightarrow u+v\in W}$ e ${\displaystyle \alpha u\in W}$;

(iii) ${\displaystyle W}$ el xe sarà par combinasioni lineari: ${\displaystyle \alpha _{1}w_{1}+...+\alpha _{k}w_{k}\in W}$ ${\displaystyle \forall w_{i}\in W,\forall \alpha _{i}\in C}$.

'N exenpio de spasio vetoriałe sarìa ${\displaystyle \mathbb {R} }$, o anca mejo sarìa ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$. ${\displaystyle \mathbb {Q} \trianglelefteq \mathbb {Q} ^{n}}$ (risp. ${\displaystyle \mathbb {R} \trianglelefteq \mathbb {R} ^{n}}$) xe un exenpio de sotospasio.