Simetri siklik dalam tiga dimensi

Grup titik dalam tiga dimensi

Simetri involusi Cs, (*) [ ] =	Simetri siklik Cnv, (*nn) [n] =	Simetri dihedral Dnh, (*n22) [n,2] =
Grup polihedral, [n,3], (*n32)
Simetri tetrahedral Td, (*332) [3,3] =	Simetri oktahedral Oh, (*432) [4,3] =	Simetri ikosahedral Ih, (*532) [5,3] =

Dalam geometri tiga dimensi, empat deret tak hingga grup titik dalam tiga dimensi (n≥1) dengan lipatan-n simetri rotasi atau refleksi pada satu sumbu (dengan sudut 360°/n) yang tidak mengubah objek.

Ia adalah grup simetri hingga pada kerucut. Untuk n = ∞ sesuai dengan empat grup dekorasi. Schönflies digunakan. Istilah horizontal (h) dan vertikal (v) menyatakan keberadaan dan arah pemantulan terhadap sumbu simetri vertikal. Juga ditampilkan notasi Coxeter dalam tanda kurung, dan notasi orbifold dalam tanda kurung.

Kiral

• C_n, [n]⁺, (nn) of urutan n - lipatan-n simetri rotasi - grup akro-n-gonal (grup abstrak Z_n); untuk n=1: bukan simetri (grup trivial)

Akiral

• C_nh, [n⁺,2], (n*) urutan 2n - simetri prismatik atau grup orto-n-gonal (grup abstrak Z_n × Dih₁); untuk n=1 ini dilambangkan dengan C_s (1*) dan disebut juga sebagai simetri refleksi, dan simetri bilateral. Ia memiliki simetri refleksi berhubungan dengan bidang yang tegak lurus terhadap sumbu rotasi lipatan n.
• C_nv, [n], (*nn) urutan 2n - simetri piramida atau grup akro-n-gonal penuh (grup abstrak Dih_n); dalam biologi C_2v disebut juga sebagai simetri biradial. Untuk n=1 memiliki C_s (1*). Ini memiliki bidang cermin vertikal. Ini adalah grup simetri untuk sisi-n piramida beraturan.
• S_2n, [2⁺,2n⁺], (n×) urutan 2n - grup giro-n-gonal (jangan disamakan dengan grup simetris, yang notasinya sama digunakan; grup abstrak Z_2n); Ini memiliki sumbu lipatan-2n rotorefleksi, juga disebut sumbu rotasi tak wajar lipatan-2n, yaitu grup simetri berisi kombinasi pantulan pada bidang horizontal dan rotasi dengan sudut 180°/n. Jadi, D_nd berisi sejumlah rotasi takwajar tanpa memuat rotasi yang sesuai.
  • for n=1 memiliki S₂ (1×), juga dilambangkan dengan C_i; ini adalah simetri inversi.

C_2h, [2,2⁺] (2*) dan C_2v, [2], (*22) urutan 4 adalah dua dari tiga jenis grup simetri 3D dengan Grup empat Klein sebagai grup abstrak. Berlaku untuk C_2v, misalnya untuk ubin persegi panjang dengan sisi atas berbeda dari sisi bawahnya.

Dalam batasan keempat grup ini mewakili bidang Euclidean grup dekorasi sebagai C_∞, C_∞h, C_∞v, dan S_∞. Rotasi menjadi translasi dalam batas. Bagian dari bidang tak hingga juga dapat dipotong dan dihubungkan menjadi silinder tak hingga.

Grup dekorasi

Notasi				Contoh
IUC	Orbifold	Coxeter	Schönflies*	Bidan Euklidean	Tabung (n=6)
p1	∞∞	[∞]+	C∞
p1m1	*∞∞	[∞]	C∞v
p11m	∞*	[∞+,2]	C∞h
p11g	∞×	[∞+,2+]	S∞

S2/Ci (1x):	C4v (*44):		C5v (*55):
Paralelipiped	Piramida persegi	Piramida persegi panjang	Piramida segilima

• Simetri dihedral dalam tiga dimensi

• Sands, Donald E. (1993). "Crystal Systems and Geometry". Introduction to Crystallography. Mineola, New York: Dover Publications, Inc. hlm. 165. ISBN 0-486-67839-3. 
• On Quaternions and Octonions, 2003, John Horton Conway and Derek A. Smith ISBN 978-1-56881-134-5
• The Symmetries of Things 2008, John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, ISBN 978-1-56881-220-5
• Kaleidoscopes: Selected Writings of H.S.M. Coxeter, edited by F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1]
• N.W. Johnson: Geometries and Transformations, (2018) ISBN 978-1-107-10340-5 Chapter 11: Finite symmetry groups, 11.5 Spherical Coxeter groups