Simetri tetrahedral

Grup titik dalam tiga dimensi

Simetri involusi Cs, (*) [ ] =	Simetri siklik Cnv, (*nn) [n] =	Simetri dihedral Dnh, (*n22) [n,2] =
Grup polihedral, [n,3], (*n32)
Simetri tetrahedral Td, (*332) [3,3] =	Simetri oktahedral Oh, (*432) [4,3] =	Simetri ikosahedral Ih, (*532) [5,3] =

Sebuah tetrahedron reguler memiliki 12 simetri rotasi (atau orientasi-kekal), dan urutan simetri dari 24 yang termasuk transformasi menggabungkan refleksi dan rotasi.

Grup semua simetri adalah isomorfik terhadap grup S₄, grup simetris dari permutasi empat objek, karena satu simetri tersebut untuk setiap permutasi simpul dari tetrahedron. Himpunan simetri kekal orientasi membentuk grup yang disebut sebagai subgrup selang-seling A₄ dari S₄.

Kiral dan penuh (atau simetri tetrahedral akiral dan simetri piritohedral) adalah simetri titik diskrit (atau ekuivalen simetri pada bola). Ia termasuk di antara grup titik kristal dari sistem kristal kubik.

Sumbu girasi

C3	C3	C2
2	2	3

Terlihat pada proyeksi stereografik tepi dari tetrakis heksahedron membentuk 6 lingkaran (atau garis radial pusat) pada bidang. Masing-masing dari 6 lingkaran ini mewakili garis cermin dalam simetri tetrahedral. Irisan/potongan lingkaran ini bertemu pada urutan 2 dan 3 titik girasi.

Ortogonal	Proyeksi stereografis
	Lipatan-4	Lipatan-3	Lipatan-2
Simetri tetrahedral kiral, T, (332), [3,3]+ = [1+,4,3+], =
Simetri piritohedral, Th, (3*2), [4,3+],
Simetri tetrahedral akiral, Td, (*332), [3,3] = [1+4,3], =

Rotasi tetrahedral grup T dengan domain fundamental; untuk triakis tetrahedron, lihat di bawah, yang terakhir adalah satu wajah penuh

Sebuah tetrahedron ditempatkan 12 posisi berbeda dengan rotasi. Ini diilustrasikan atas dalam format grafik siklus, bersama dengan tepi 180° (panah biru) dan sudut 120° (panah merah) rotasi bahwa permutasi tetrahedron melalui posisi tersebut.

Dalam tetrakis heksahedron satu wajah penuh adalah domain fundamental; padatan lain dengan simetri yang sama diperoleh dengan menyesuaikan orientasi wajah, misalnya meratakan himpunan bagian wajah dipilih untuk menggabungkan setiap subset menjadi satu wajah, atau mengganti setiap wajah dengan beberapa wajah, atau permukaan melengkung.

T, 332, [3,3]⁺, atau 23, urutan 12 - kiral atau simetri tetrahedral rotasi. Ada tiga sumbu rotasi ortogonal lipatan-2, seperti kiral simetri dihedral D₂ atau 222, dengan tambahan empat sumbu lipatan-3, berpusat di antara tiga arah ortogonal. Grup isomorfik hingga A₄, grup selang-seling pada 4 elemen; sebenarnya itu adalah grup permutasi genap dari empat sumbu lipatan-3: e, (123), (132), (124), (142), (134), (143), (234 ), (243), (12)(34), (13)(24), (14)(23).

Kelas konjugasi dari T adalah:

• identitas
• 4 × rotasi sebesar 120° searah jarum jam (dilihat dari titik sudut): (234), (143), (412), (321)
• 4 × rotasi sebesar 120° berlawanan arah jarum jam (ditto)
• 3 × rotasi 180°

Rotasi 180°, bersama dengan identitas, dalam bentuk subgrup normal tipe Dih₂, dengan grup hasil bagi tipe Z₃. Tiga elemen yang terakhir adalah identitas, "rotasi searah jarum jam", dan "rotasi berlawanan arah jarum jam", sesuai dengan permutasi dari tiga sumbu lipatan-2 ortogonal, mempertahankan orientasi.

A₄ adalah grup terkecil yang menunjukkan bahwa inversi dari Teorema Lagrange tidak benar secara umum: diberikan grup hingga G dan pembagi d dari |G|, tidak ada subgrup G dengan urutan d: grup G = A₄ tidak memiliki subgrup urutan 6. Meskipun itu adalah sifat untuk grup abstrak secara umum, jelas dari grup isometri simetri tetrahedral kiral: karena kiralitas, subgrup harus menjadi C₆ atau D₃, namun keduanya tidak berlaku.

Schoe.	Coxeter		Orb.	H-M	Generator	Struktur	Siklus	Urutan	Indeks
T	[3,3]+	=	332	23	2	A4		12	1
D2	[2,2]+	=	222	222	3	Dih2		4	3
C3	[3]+		33	3	1	Z3		3	4
C2	[2]+		22	2	1	Z2		2	6
C1	[ ]+		11	1	1	Z1		1	12

T_d, *332, [3,3] or 43m, urutan 24 – akiral atau simetri tetrahedral penuh, juga dikenal sebagai (2,3,3) grup segitiga. Grup ini memiliki sumbu rotasi yang sama dengan T, namun dengan enam bidang cermin, masing-masing melalui dua sumbu tiga kali lipat. Sumbu lipatan-2 sekarang menjadi sebagai sumbu S₄ (4). T_d dan O isomorfik sebagai grup abstrak: keduanya sesuai dengan S₄, grup simetris pada 4 objek. T_d adalah gabungan T dan himpunan yang diperoleh dengan menggabungkan setiap elemen O \ T dengan inversi. Lihat pula isometri dari tetrahedron beraturan.

Kelas konjugasi dari T_d adalah:

• identitas
• 8 × rotasi 120° (C₃)
• 3 × rotasi 180° (C₂)
• 6 × refleksi pada bidang melalui dua sumbu rotasi (C_s)
• 6 × rotorefleksi sebesar 90° (S₄)

Schoe.	Coxeter		Orb.	H-M	Generator	Struktur	Siklus	Urutan	Indeks
Td	[3,3]		*332	43m	3	S4		24	1
C3v	[3]		*33	3m	2	Dih3=S3		6	4
C2v	[2]		*22	mm2	2	Dih2		4	6
Cs	[ ]		*	2 atau m	1	Z2 = Dih1		2	12
D2d	[2+,4]		2*2	42m	2	Dih4		8	3
S4	[2+,4+]		2×	4	1	Z4		4	6
T	[3,3]+		332	23	2	A4		12	2
D2	[2,2]+		222	222	2	Dih2		4	6
C3	[3]+		33	3	1	Z3 = A3		3	8
C2	[2]+		22	2	1	Z2		2	12
C1	[ ]+		11	1	1	Z1		1	24

T_h, 3*2, [4,3⁺] atau m3, urutan 24 – simetri piritohedral. Grup ini memiliki sumbu rotasi yang sama dengan T, dengan bidang cermin melalui dua arah ortogonal. Sumbu lipatan-3 sekarang adalah sebagai S₆ (3), dan simetri inversi pusat. T_h isomorfik terhadap T × Z₂: setiap elemen T_h adalah elemen T, atau elemen yang digabungkan dengan inversi. Selain dua subgrup normal ini, ada juga subgrup normal D_2h (dalam bentuk kubus), berjenis Dih₂ × Z₂ = Z₂ × Z₂ × Z₂. Ini adalah produk langsung dari subgrup normal T (lihat di atas) dengan C_i. Geup hasil bagi sama seperti di atas: berjenis Z₃. Tiga elemen yang terakhir adalah identitas, "rotasi searah jarum jam", dan "rotasi berlawanan arah jarum jam", sesuai dengan permutasi dari tiga sumbu lipatan-2 ortogonal, sebagai orientasi.

Ini adalah simetri kubus dengan setiap wajah segmen garis membagi wajah menjadi dua persegi panjang yang sama, sehingga segmen garis dari wajah berdekatan tidak bertemu pada tepi. Simetri sesuai dengan permutasi genap dari diagonal tubuh dan kombinasi yang sama dengan inversi. Ini juga merupakan simetri dari piritohedron, yang mirip dengan kubus yang dijelaskan, dengan setiap persegi panjang diganti dengan segi lima dengan satu sumbu simetri dan 4 sisi yang sama dan 1 sisi yang berbeda (yang sesuai dengan segmen garis yang membagi wajah kubus); yaitu, wajah kubus menonjol keluar di garis pemisah dan menjadi lebih sempit di sana. Ini adalah subgrup dari grup simetri ikosahedral penuh (sebagai grup isometri, bukan hanya grup abstrak), dengan 4 dari 10 sumbu lipatan-3.

Kelas konjugasi T_h termasuk kelas T, dengan dua kelas 4 digabungkan, dan masing-masing dengan inversi:

• identitas
• 8 × rotasi 120° (C₃)
• 3 × rotasi 180° (C₂)
• inversi (S₂)
• 8 × rotorefleksi sebesar 60° (S₆)
• 3 × refleksi pada bidang (C_s)

Schoe.	Coxeter		Orb.	H-M	Generator	Struktur	Siklus	Urutan	Indeks
Th	[3+,4]		3*2	m3	2	A4×2		24	1
D2h	[2,2]		*222	mmm	3	Dih2×Dih1		8	3
C2v	[2]		*22	mm2	2	Dih2		4	6
Cs	[ ]		*	2 atau m	1	Dih1		2	12
C2h	[2+,2]		2*	2/m	2	Z2×Dih1		4	6
S2	[2+,2+]		×	1	1	2 atau Z2		2	12
T	[3,3]+		332	23	2	A4		12	2
D3	[2,3]+		322	3	2	Dih3		6	4
D2	[2,2]+		222	222	3	Dih4		4	6
C3	[3]+		33	3	1	Z3		3	8
C2	[2]+		22	2	1	Z2		2	12
C1	[ ]+		11	1	1	Z1		1	24

Ikosahedron berwarna sebagai tetrahedron umpat memiliki simetri kiral.

Kelas	Nama	Gambar	Wajah	Tepi	Sudut
Padatan platonis	tetrahedron		4	6	4
Padatan Archimedean	tetrahedron penggal		8	18	12
Padatan Catalan	triakis tetrahedron		12	18	8
Padatan Johnson-luput	Triakis tetrahedron potongan		16	42	28
	Dodecahedron tertetrasi		28	54	28
Polihedron bintang seragam	Tetrahemiheksahedron		7	12	6

• Simetri oktahedral
• simetri ikosahedral
• Grup tetrahedral biner
• Bahan belajar tentang Symmetric group S4 di Wikiversitas

• Peter R. Cromwell, Polyhedra (1997), p. 295
• The Symmetries of Things 2008, John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, ISBN 978-1-56881-220-5
• Kaleidoscopes: Selected Writings of H.S.M. Coxeter, edited by F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1]
• N.W. Johnson: Geometries and Transformations, (2018) ISBN 978-1-107-10340-5 Chapter 11: Finite symmetry groups, 11.5 Spherical Coxeter groups

• Weisstein, Eric W. "Tetrahedral group". MathWorld.