Eliminación de la disyunción

En lógica proposicional, la eliminación de la disyunción^[1]​^[2]​^[3]​ (a veces llamada prueba por casos o análisis de casos), es una forma de argumento válido y regla de inferencia que permite la eliminación de un argumento disjunctivo de una prueba lógica. Es la inferencia de que la afirmación ${\displaystyle P}$ implica en la afirmación ${\displaystyle Q}$ y la afirmación ${\displaystyle R}$ también implica ${\displaystyle Q}$, por lo tanto, si ${\displaystyle P}$ o ${\displaystyle R}$ son verdaderos, entonces ${\displaystyle Q}$ tiene que ser verdadero. La razón es simple: si al menos una de las afirmaciones P y R son verdaderas, y puesto que al menos una de ellas es suficiente para confirmar Q, entonces Q es ciertamente correcto.

Si estoy dentro, tengo mi billetera conmigo.

Si estoy fuera, tengo mi billetera conmigo.

Es cierto que estoy dentro o fuera.

Entonces, tengo mi billetera conmigo.

Es decir, la regla se puede definir como:

${\displaystyle {\begin{array}{cl}&P\to Q\\&R\to Q\\&P\lor R\\\hline \therefore &Q\\\end{array}}}$

Donde la regla es que cada vez que las instancias "${\displaystyle P\to Q}$", y "${\displaystyle R\to Q}$" y "${\displaystyle P\lor R}$" aparezcan en una línea de evidencia, "${\displaystyle Q}$" puede colocarse en la línea subsiguiente.

La regla para la eliminación de la disyunción puede escribirse en la notación subsiguiente:

${\displaystyle (P\to Q),(R\to Q),(P\lor R)\vdash Q}$

donde ${\displaystyle \vdash }$ es el símbolo metalógico que significa que ${\displaystyle Q}$ es una consecuencia sintáctica de ${\displaystyle P\to Q}$ y ${\displaystyle R\to Q}$ y ${\displaystyle P\lor R}$ en algún sistema lógico;

o expresado como una declaración de verdadera tautología funcional o teorema de la lógica proposicional:

${\displaystyle (((P\to Q)\land (R\to Q))\land (P\lor R))\to Q}$

donde ${\displaystyle P}$, ${\displaystyle Q}$ y ${\displaystyle R}$ son proposiciones expresadas en algún sistema formal.

• Disyunción
• Argumento en la alternativa
• Forma normal disyuntiva

• Esta obra contiene una traducción total derivada de «Disjunction elimination» de Wikipedia en inglés, concretamente de esta versión, publicada por sus editores bajo la Licencia de documentación libre de GNU y la Licencia Creative Commons Atribución-CompartirIgual 4.0 Internacional.