Nota: Não confundir com Domínio de integridade.

Na matemática, e mais especificamente na teoria ingênua dos conjuntos, o domínio de definição (ou simplesmente o domínio) de uma função é o conjunto de valores de "entrada" ou argumento para os quais a função é definida. Ou seja, a função fornece uma "saída" ou valor para cada membro do domínio.^[1] Por outro lado, o conjunto de valores que a função assume como saída é denominado imagem da função, o que às vezes também é chamado de intervalo da função.

Por exemplo, o domínio do cosseno é o conjunto de todos os números reais, o domínio da raiz quadrada consiste apenas em números maiores ou iguais a 0, enquanto o domínio do logarítmo consiste em todos os números reais positivos não-nulos (${\displaystyle \mathbb {R} _{*}^{+}}$, ${\displaystyle (0,+\infty )}$) (ignorando números complexos em todos os casos).

Se o domínio de uma função é um subconjunto dos números reais e a função é representada em um sistema de coordenadas cartesianas, então o domínio é representado no eixo x.

Dada uma função ${\displaystyle f\colon X\to Y}$, o conjunto ${\displaystyle X}$ é o domínio de ${\displaystyle f}$; o conjunto ${\displaystyle Y}$ é o contradomínio de ${\displaystyle f}$. Na expressão ${\displaystyle f(x)}$, ${\displaystyle x}$ é o argumento e ${\displaystyle f(x)}$ é o valor. Pode-se pensar em um argumento como um membro do domínio que é escolhido como uma "entrada" para a função e o valor como a "saída" quando a função é aplicada a esse membro do domínio.

Se tratando de relações entre conjuntos. Seja ${\displaystyle R}$ uma relação de ${\displaystyle A}$_(domínio) em ${\displaystyle B}$_{(contradomínio)}, então:^[2][3]

${\displaystyle Dom(R)=\{x\in A|\exists y\in B(xRy)\}}$ e

${\displaystyle Dom(R)=Im(R^{-1})}$

A imagem (às vezes chamada de intervalo) de ${\displaystyle f}$ é o conjunto de todos os valores assumidos por ${\displaystyle f}$ para todos os possíveis ${\displaystyle x}$; este é o conjunto ${\displaystyle \left\{f(x)|x\in X\right\}}$. A imagem de ${\displaystyle f}$ pode ser o mesmo conjunto que o contradomínio ou pode ser um subconjunto próprio dele. É, em geral, menor que o contradomínio; é o contradomínio inteiro se e somente se ${\displaystyle f}$ é uma função sobrejetiva.

Uma função bem definida deve mapear todos os elementos de seu domínio para um elemento de seu contradomínio. Por exemplo, a função ${\displaystyle f}$ definida por

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{x}}}$

não tem valor para ${\displaystyle f(0)}$. Assim, o conjunto de todos os números reais, ${\displaystyle \mathbb {R} }$, não pode ser o seu domínio. Em casos como este, a função é definida em ${\displaystyle \mathbb {R} \setminus \{0\}}$ ou o "espaço é ligado" definindo explicitamente ${\displaystyle f(0)}$. Se estendermos a definição de ${\displaystyle f}$ para

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}1/x&x\not =0\\0&x=0\end{cases}}}$

então ${\displaystyle f}$ é definido para todos os números reais, e seu domínio é ${\displaystyle \mathbb {R} }$.

Qualquer função pode ser restrita a um subconjunto de seu domínio. A restrição de ${\displaystyle g\colon A\to B}$ a ${\displaystyle S}$, onde ${\displaystyle S\subseteq A}$, é escrita como ${\displaystyle \left.g\right|_{S}\colon S\to B}$.

O domínio natural de uma função é o conjunto máximo de valores para os quais a função é definida, normalmente dentro dos reais, mas às vezes entre os números inteiros ou complexos. Por exemplo, o domínio natural da raiz quadrada é o real não negativo quando considerado como uma função numérica real. Ao considerar um domínio natural, o conjunto de valores possíveis da função é tipicamente chamado de intervalo.^[4]

Há dois significados distintos no uso matemático atual para a noção do domínio de uma função parcial de ${\displaystyle X}$ a ${\displaystyle Y}$, isto é, uma função de um subconjunto ${\displaystyle X'}$ de ${\displaystyle X}$ a ${\displaystyle Y}$. A maioria dos matemáticos, incluindo os teóricos de recursão, usam o termo "domínio de ${\displaystyle f}$ " para o conjunto ${\displaystyle X'}$ de todos os valores ${\displaystyle x}$ tais que ${\displaystyle f(x)}$ é definida. Mas alguns, particularmente os teóricos de categoria, consideram o domínio como sendo ${\displaystyle X}$, independentemente de existir ${\displaystyle f(x)}$ para cada ${\displaystyle x}$ em ${\displaystyle X}$.

Na teoria das categorias, lida-se com morfismos em vez de funções. Os morfismos são flechas de um objeto para outro. O domínio de qualquer morfismo é o objeto a partir do qual uma seta começa. Nesse contexto, muitas ideias teóricas que estabelecem os domínios devem ser abandonadas ou, pelo menos, formuladas de maneira mais abstrata. Por exemplo, a noção de restringir um morfismo a um subconjunto de seu domínio deve ser modificada.

Na análise real e complexa, um domínio é um subconjunto aberto de um espaço vetorial real ou complexo.

Em equações diferenciais parciais, um domínio é um subconjunto aberto do espaço euclidiano ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, onde o problema é colocado, isto é, onde a(s) função(ões) desconhecida(s) é(são) definida(s).

• Como uma função parcial dos números reais, a função ${\displaystyle x\mapsto {\sqrt {x}}}$ é definida para todos ${\displaystyle x\geq 0}$.
• Se se define a raiz quadrada de um número negativo ${\displaystyle x}$ como o número complexo ${\displaystyle z}$, com parte imaginária positiva, tal que ${\displaystyle z^{2}=x}$, a função ${\displaystyle x\mapsto {\sqrt {x}}}$ é definida para todos os números reais ${\displaystyle x}$.
• A função ${\displaystyle \tan x={\frac {\sin x}{\cos x}}}$ é definida para todo ${\displaystyle x\neq {\frac {\pi }{2}}+k\pi ,k=0,\pm 1,\pm 2,\ldots }$

Referências

• Portal da matemática