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O teste da comparação ou 1º critério de comparação, estabelece um método para aferir a convergência de séries positivas, ou para a convergência absoluta.

Sejam as séries de termos não negativos:

• ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$
• ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }b_{n}}$

Então se ${\displaystyle 0\leq a_{n}\leq b_{n}}$, para todo o ${\displaystyle n\geq p}$ (i.e: a partir de uma dada ordem), e se a segunda série converge, então a primeira também converge (e tem soma inferior). Ou ainda, se a primeira diverge, então a segunda também diverge.

Podemos também estabelecer que se ${\displaystyle |a_{n}|\leq b_{n}}$, então a primeira série converge contanto que a segunda também convirja.

Considermos as séries acima descritas e ainda o seguinte limite:

${\displaystyle l=\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}:b_{n}\neq 0,\forall n\in \mathbb {N} }$

• se ${\displaystyle l\in \left]0,\infty \right[}$ as séries ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ e ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }b_{n}}$ têm a mesma natureza.
• se ${\displaystyle l=0}$

(a) se ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }b_{n}}$ converge, então ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ converge

• se ${\displaystyle l=+\infty }$

(a) se ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ converge, então ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }b_{n}}$ converge

Observe cuidadosamente que a segunda afirmação implica a primeira. Demonstremos a primeira:

Suponha que ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }b_{n}}$ seja convergente. Ou seja, as somas parciais formam uma seqüência convergente:

${\displaystyle S_{N}^{b}:=\sum _{n=1}^{N}b_{n}}$ é uma sequência convergente e portanto de Cauchy.

Denote:

${\displaystyle S_{N}^{a}:=\sum _{n=1}^{N}a_{n}}$

Queremos mostrar que ${\displaystyle S_{N}^{a}}$ é uma sucessão de Cauchy. Para tal estime:

${\displaystyle \left|S_{N+k}^{a}-S_{N}^{a}\right|=\left|\sum _{n=N+1}^{N+k}a_{n}\right|}$

Use a desigualdade triangular:

${\displaystyle \left|S_{N+k}^{a}-S_{N}^{a}\right|\leq \sum _{n=N+1}^{N+k}|a_{n}|\leq \sum _{n=N+1}^{N+k}b_{n}=|S_{N+k}^{b}-S_{N}^{b}|}$

Sendo ${\displaystyle S_{N}^{b}}$ uma sucessão de Cauchy, ${\displaystyle S_{N}^{a}}$ também o é.

Seja a série fatorial que define o número de Euler: ${\displaystyle e=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}}$ Denote por ${\displaystyle S_{n}}$ e ${\displaystyle R_{n}}$ as somas parciais e o resíduo de ordem N:

${\displaystyle e=S_{N}+R_{N}\,}$

${\displaystyle S_{N}=\sum _{n=0}^{N}{\frac {1}{N!}}}$

${\displaystyle R_{N}=\sum _{n=N+1}^{\infty }{\frac {1}{n!}}}$

Vamos mostrar que a série converge e ainda extrairemos uma estimativa para o erro:

${\displaystyle R_{N}=\sum _{n=N+1}^{\infty }{\frac {1}{n!}}={\frac {1}{N!}}\sum _{n=N+1}^{\infty }{\frac {N!}{n!}}}$

Como ${\displaystyle {\frac {N!}{n!}}={\frac {1}{(N+1)(N+2)\cdots (n)}}<{\frac {1}{(N+1)^{n-N}}},~~n>N}$

Assim comparamos:

${\displaystyle R_{N}=\sum _{n=N+1}^{\infty }{\frac {1}{n!}}\leq {\frac {1}{N!}}\sum _{n=N+1}^{\infty }{\frac {1}{(N+1)^{n-N}}}={\frac {1}{N!}}\sum _{n=N+1}^{\infty }(N+1)^{-(n-N)}}$

Usanda a soma da série geométrica, temos:

${\displaystyle R_{N}={\frac {1}{N!(N+1)}}\sum _{n=0}^{\infty }(N+1)^{-n}\leq {\frac {1}{N!(N+1)}}{\frac {1}{1-(N+1)^{-1}}}={\frac {1}{N!N}}}$