Cotesova spirala

Cotesova spirala je ravninska krivulja, ki se jo lahko zapiše v polarnih koordinatah z eno izmed naslednjih treh oblik:

${\displaystyle {\frac {1}{r}}=A\cos \left(k\theta +\varepsilon \right)\!\,,}$

${\displaystyle {\frac {1}{r}}=A\cosh \left(k\theta +\varepsilon \right)\!\,,}$

${\displaystyle {\frac {1}{r}}=A\theta +\varepsilon \!\,,}$

kjer je:

• ${\displaystyle A\,}$ realno število (konstanta)
• ${\displaystyle k\,}$ realno število (konstanta)
• ${\displaystyle \varepsilon \,}$ realno število (konstanta)

Prva oblika predstavlja epispiralo, druga Poinsotovo spiralo, tretja pa predstavlja hiperbolično spiralo.

Spirala se imenuje po angleškem matematiku Rogerju Cotesu (1682 – 1716).

Cotesova spirala je izredno pomembna v klasični mehaniki, ker se po Cotesovih spiralah gibljejo telesa v polju sil, ki padajo obratno sorazmerno s tretjo potenco oddaljenosti. To so sile, ki se jih lahko zapiše kot:

${\displaystyle F(r)={\frac {\mu }{r^{3}}}\!\,,}$

kjer je:

• ${\displaystyle \mu \,}$ realna konstanta

Središčna sila je odvisna samo od razdalje ${\displaystyle r\,}$ med gibajočim se telesom in fiksno točko (središčem). V tem primeru se lahko konstanta ${\displaystyle k\,}$ spirale določi s pomočjo ploščinske hitrosti, ki se jo označi s ${\displaystyle h\,}$, tako da velja:

${\displaystyle k^{2}=1-{\frac {\mu }{h^{2}}}\!\,.}$

Nastopijo lahko trije primeri:

• ${\displaystyle \mu <h\,}$ dobi se kosinusno obliko spirale in velja:

${\displaystyle k^{2}={\frac {\mu }{h^{2}}}-1\!\,}$

• ${\displaystyle \mu >h\,}$ dobi se hiperbolično kosinusno obliko spirale
• ${\displaystyle \mu =h\,}$ dobi se tretjo obliko spirale (glej zgoraj).

• Weisstein, Eric Wolfgang. »Cotes' Spiral«. MathWorld.
• Cotesova spirala na 2dcurves.com (angleško)
• Cotesova spirala v Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquable (francosko)