Poliomina

Poliomína (tudi polinomína^[1]) je ravninski lik, ki ga sestavlja eden ali več skladnih neprekrivajočih se enotskih kvadratov ortogonalno povezanih po stranicah. Je vrsta poliforme, katere celica je kvadrat. Lahko se jo šteje za končno podmožico pravilnega kvadratnega pokritja s povezano notranjostjo. Naslednji liki:

na primer niso poliomine, saj so vsaj enkrat povezani le z ogliščema. Takšni liki, imenovani nepoliomine, skupaj s prostimi poliominami tvorijo množico likov, imenovanih (prosti) polipleti ali polikralji, kjer je zadnje poimenovanje povezano s šahovskimi figurami, kralji. Polipleti se pojavljajo v igri življenja Johna Hortona Conwayja.

Poliomine se razvrstijo po tem koliko enotskih celic imajo, kar se imenuje red poliomine:

Poliomine se pojavljajo v priljubljenih ugankah vsaj že od leta 1907, štetje pentomin pa izvira še iz antike.^[a] Mnogo rezultatov z liki iz enega do šest kvadratov je bilo prvič objavljeno v reviji Fairy Chess Review med letoma 1937 in 1957, pod imenom »razčlenitveni problemi« (angleško dissection problems), niso pa bili opaženi, ker so bili večinoma objavljeni v nepregledni kodirani obliki.^[2] Ime poliomina je skoval ameriški matematik in inženir Solomon Wolf Golomb leta 1953, o njih pa je nato veliko pisal Martin Gardner v svoji rubriki Matematične igre v reviji Scientific American.^[3] Beseda poliomina izhaja iz starogrške besede starogrško πολυ: poly - veliko, iz polýs - mnog, in domina.^[4] Beseda domina verjetno izhaja iz pegaste široke maškaradne obleke domino, iz latinskega dominus - gospodar.

S poliominami so povezani poliamanti, ki jih sestavljajo enakostranični trikotniki; poliheksi, ki jih tvorijo pravilni šestkotniki, in druge ravninske poliforme. Poliomine so posplošili na višje razsežnosti s spajanjem kock v polikocke, teseraktov v politeserakte ali hiperkock v polihiperkocke.

Kot pri mnogih ugankah v razvedrilni matematiki je s poliominami povezanih veliko kombinatoričnih problemov, še posebej s področja geometrične kombinatorike. Najosnovnejši je štetje poliomin za dano velikost. Za štetje ne obstaja noben splošni obrazec, razen za posebne razrede poliomin. Znanih je več ocen, obstajajo pa tudi algoritmi za njihovo računanje.

Poliomine z luknjami za nekatere primere niso primerne, na primer za probleme pokrivanja ravnine. Včasih se takšne poliomine izključijo in so dovoljene le enostavno povezane.^[5]

Pri štetju obstajajo trije običajni načini razlikovanja poliomin:^[6][7]

• proste poliomine so različni liki, če noben ni transformacija (vzporedni premik, vrtenje, zrcaljenje ali drsno zrcaljenje) drugega (figure, ki se jih lahko vzame v roke in se jih obrne).
• enostranske poliomine se razlikujejo, kadar nobena ni vzporedno premaknjena ali zavrtena (figure, ki se jih ne da obrniti).
• negibne poliomine se razlikujejo, kadar nobena ni vzporedno premaknjena (figure, ki se jih ne da obrniti ali zasukati).

Naslednja razpredelnica prikazuje število poliomin različnih vrst z n celicami, ter poliplete. Naj ${\displaystyle a_{n}}$ označuje število negibnih poliomin z n celicami (od katerih imajo lahko nekatere luknje).

n	ime	poliomine					nepoliomine	polipleti
		proste			enostranske	negibne	proste	prosti	enostranski	negibni
		vse	z luknjami	brez lukenj
		A000105	A001419	A000104	A000988	${\displaystyle a_{n}}$, A001168	A194596	A030222	A030233	A006770
1	monomina	1	0	1	1	1	0	1	1	1
2	domina	1	0	1	1	2	1	2	2	4
3	tromina	2	0	2	2	6	3	5	6	20
4	tetromina	5	0	5	7	19	17	22	34	110
5	pentomina	12	0	12	18	63	82	94	166	638
6	heksomina	35	0	35	60	216	489	524	991	3.832
7	heptomina	108	1	107	196	760	2.923	3.031	5.931	23.592
8	oktomina	369	6	363	704	2.725	18.401	18.770	37.196	147.941
9	nonomina	1.285	37	1.248	2.500	9.910	116.848	118.133	235.456	940.982
10	dekomina	4.655	195	4.460	9.189	36.446	753.726	758.381	1.514.618	6.053.180
11	undekomina	17.073	979	16.094	33.896	135.268	4.898.579	4.915.652	9.826.177	39.299.408
12	dodekomina	63.600	4.663	58.937	126.759	505.861	32.085.696	32.149.296	64.284.947	257.105.146
13		238.591	21.474	217.117	476.270	1.903.890	211.398.614	211.637.205	423.241.426	1.692.931.066
14		901.971	96.496	805.475	1.802.312	7.204.874	1.400.292.492	1.401.194.463	2.802.300.793	11.208.974.860
15		3.426.576	425.449	3.001.127	6.849.777	27.394.666	9.318.028.028	9.321.454.604	18.642.694.440	74.570.549.714
16		13.079.255	1.849.252	11.230.003	26.152.418	104.592.937	62.259.251.309	62.272.330.564	124.544.085.550	498.174.818.986
17		50.107.909	7.946.380	42.161.529	100.203.194	400.795.844	417.496.576.187	417.546.684.096	835.091.956.750	3.340.366.308.393
18		192.622.052	33.840.946	158.781.106	385.221.143	1.540.820.542
19		742.624.232	143.060.339	599.563.893	1.485.200.848	5.940.738.676
20		2.870.671.950	601.165.888	2.269.506.062	5.741.256.764	22.964.779.660

Jensen je preštel negibne poliomine do n = 56: ${\displaystyle a_{56}}$ je približno 6,915×10³¹.^[8] Proste poliomine do n = 28 je preštel Tomás Oliveira e Silva.^[9] V splošnem pa je problem štetja poliomin nerešen.

Diedrska grupa ${\displaystyle D_{4}}$ je grupa simetrij (simetrijska grupa) kvadrata. Ta grupa vsebuje štiri zasuke in štiri zrcaljenja. Tvori se jo z izmeničnim zrcaljenjem prek osi x in prek diagonale. Ena prosta poliomina odgovarja največ 8. negibnim poliominam, ki so njene podobe pod simetrijo ${\displaystyle D_{4}\,}$. Te podobe pa niso nujno različne: več ima prosta poliomina simetrije, manj ima različnih negibnih dvojnic. Zaradi tega lahko prosta poliomina, ki je invarianta pri nekaterih ali vseh netrivialnih simetrijah ${\displaystyle D_{4}\,}$, odgovarja le 4., 2. ali 1. negibni poliomini. Matematično gledano so proste poliomine ekvivalenčni razredi negibnih poliomin pod grupo ${\displaystyle D_{4}\,}$.

Za poliomine lahko obstajajo naslednje simetrije.^[10] Za vsako simetrijo je dano najmanjše število celic v poliomini:

• 8 negibnih poliomin za vsako prosto peoliomino:
  • brez simetrije (4)
• 4 negibne poliomine za vsako prosto poliomino:
  • osna simetrija glede na smeri mrežnih črt (90°) (4)
  • osna simetrija glede na diagonale (45°) (3)
  • rotacijska simetrija reda 2: ${\displaystyle C_{2}\,}$ (4)
• 2 negibni poliomini za vsako prosto poliomino:
  • simetrija glede na smeri obeh mrežnih črt, dve osi osne simetrije: ${\displaystyle D_{2}\,}$ (90°) (2)
  • simetrija glede na smeri obeh diagonal, dve osi osne simetrije: ${\displaystyle D_{2}\,}$ (45°) (7)
  • rotacijska simetrija reda 4: ${\displaystyle C_{4}\,}$ (8)
• 1 negibna poliomina za vsako prosto poliomino:
  • vse simetrije kvadrata: ${\displaystyle D_{4}\,}$ (1).

Naslednja razpredelnica prikazuje število poliomin z n celicami, glede na simetrijske grupe, in z enojnimi luknjami.

n	brez simetrije (A006749)	zrcaljenje (90°) (A006746)	zrcaljenje (45°) (A006748)	${\displaystyle C_{2}\,}$ (A006747)	${\displaystyle D_{2}\,}$ (90°) (A056877)	${\displaystyle D_{2}\,}$ (45°) (A056878)	${\displaystyle C_{4}\,}$ (A144553)	${\displaystyle D_{4}\,}$ (A142886)	(A001419)
1	0	0	0	0	0	0	0	1	0
2	0	0	0	0	1	0	0	0	0
3	0	0	1	0	1	0	0	0	0
4	1	1	0	1	1	0	0	1	0
5	5	2	2	1	1	0	0	1	0
6	20	6	2	5	2	0	0	0	0
7	84	9	7	4	3	1	0	0	1
8	316	23	5	18	4	1	1	1	6
9	1.196	38	26	19	4	0	0	2	37
10	4.461	90	22	73	8	1	0	0	195
11	16.750	147	91	73	10	2	0	0	979
12	62.878	341	79	278	15	3	3	3	4.663
13	237.394	564	326	283	17	3	2	2	21.474
14	899.265	1.294	301	1.076	30	5	0	0	96.496
15	3.422.111	2.148	1.186	1.090	35	6	0	0	425.449
16	13.069.026	4.896	1.117	4.125	60	14	12	5	1.849.252
17	50.091.095	8.195	4.352	4.183	64	9	7	4	7.946.380
18	192.583.152	18.612	4.212	15.939	117	20	0	0	33.840.946
19	742.560.511	31.349	16.119	16.105	128	20	0	0	143.060.339
20	2.870.523.142	70.983	15.849	61.628	236	56	44	12	601.165.888

Vsako poliomino reda n + 1 se lahko dobi z dodajanjem celice k poliomini reda n. Od tod izhajajo induktivni algoritmi za tvorjenje poliomin.

Najbolj preprosto se lahko v seznam poliomin reda n dodajajo kvadrati k vsaki poliomini na vsako možno mesto. Poliomina reda n + 1, ki pri tem nastane, ni dvojnica tiste, ki se jo je že našlo. Izboljšave pri urejevanju štetja in označevanje sosednjih kvadratov, ki se jih ne bi smelo upoštevati, zmanjšajo število potrebnih primerov za preverjanje dvojnikov.^[11] Ta metoda se lahko uporablja za preštevanje tako prostih kot tudi negibnih poliomin.

Boljšo metodo, ki jo je opisal Redelmeier, je več avtorjev uporabilo kot način ne samo štetja poliomin (brez zahteve, da se vse poliomine reda n ohranjajo pri štetju tistih reda n + 1), ter tudi dokazalo zgornje meje za njihovo število. Osnovna zamisel je, da se začne z enim samim kvadratom, in se od tod rekurzivno dodaja kvadrate. Odvisno od podrobnosti se lahko šteje vsako n-omino n-krat, enkrat od začetka vsakega njenega n-tega kvadrata, ali pa se jih šteje vsako enkrat.

Pri najenostavnejšemu izvajanju se dodaja samo en kvadrat na enkrat. Začne se z enim kvadratom, oštevilči se sosednje kvadrate v smeri urinega kazalca od zgoraj, 1, 2, 3 in 4. Sedaj se izbere število med 1 in 4, in se na tem mestu doda kvadrat. Potem se oštevilči neoštevilčene sosednje kvadrate in se začne s 5. Potem se izbere številko večjo od prej izbrane številke in se doda ta kvadrat. Nadaljuje se z izbiranjem številke večje od števila trenutnega kvadrata, se doda ta kvadrat, ter se nato številči nove sosednje kvadrate. Ko se tvori n kvadratov, se tvori n-omino. Ta metoda zagotavlja, da se vsako negibno poliomino šteje točno n-krat, enkrat od vsakega začetnega kvadrata. Lahko se jo optimira, da se šteje vsako poliomino samo enkrat, in ne n-krat. Začne se z začetnim kvadratom, se ga označi kot levo najnižje ležečega v poliomini. Ne številči se drugih kvadratov, ki so v spodnji vrstici, ali levo od kvadrata v isti vrstici. To različico je opisal Redelmeier.

Pri štetju prostih poliomin je treba po tvorjenju vsake n-omine preveriti simetrije. Vendar je hitreje tvoriti simetrične poliomine ločeno (z različico te metode) in določiti število prostih poliomin z Burnsideovo lemo.^[12]

Najsodobnejši algoritem za štetje negibnih poliomin je odkril Iwan Jensen.^[13] Izboljšava metode Andrewa Conwayja je eksponentno hitrejša od predhodnih metod, čeprav je čas njenega izvajanja še vedno eksponeneten v n.^[14]

Conwayjeva in Jensenova različica metode s prenosno matriko obsega štetje števila poliomin z določeno širino. Računanje števila za vse širine da skupno število poliomin. Osnovna zamisel za metodo je, da se obravnavajo možne začetne vrstice, nato pa se določi najmanjše število kvadratov potrebnih za tvorjenje poliomine z dano širino. Skupaj z rabo rodovnih funkcij je s tem postopkom možno prešteti več poliomin na enkrat, zaradi česar je tudi veliko hitrejši od drugih metod, kjer so mora tvoriti vsaka poliomina.

Čeprav ima izvrsten čas izvajanja, algoritem uporablja eksponentno količino pomnilnika (za n nad 50 je potrebnih več GB pomnilnika), je težji za programiranje od drugih metod, trenutno pa ni primeren tudi za štetje prostih polionim.

Teoretični argumenti in numerični računi podpirajo oceno:

${\displaystyle a_{n}\sim {\frac {c\lambda _{2}^{n}}{n}}\!\,,}$

kjer sta ${\displaystyle \lambda _{2}=4,0626\,}$ in ${\displaystyle c=0,3169\,}$.^[15] Vendar ta rezultat ni dokazan, tako da sta vrednosti ${\displaystyle \lambda _{2}\,}$ in c le oceni. Znani teoretični rezultati niso niti približno tako določeni kot ta ocena. Dokazano je, da obstaja limita:

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }(a_{n})^{1/n}=\lambda _{2}\!\,.}$

Vrednost ${\displaystyle a_{n}\,}$ raste eksponentno in je približno enaka:^[16]

${\displaystyle a_{n}\sim n^{\lambda _{2}}\!\,.}$

Najboljša znana spodnja meja za ${\displaystyle \lambda _{2}}$ je 3,980137.^[17] Najboljša znana zgornja meja, neizboljšana še od 1970-ih, je ${\displaystyle \lambda _{2}<4,65}$.^[18] ${\displaystyle \lambda _{2}\,}$ se imenuje Klarnerjeva konstanta.

Za določevanje spodnje meje je preprosta, vendar zelo učinkovita metoda povezovanja poliomin. Naj je zgornji-desni kvadrat najbolj desni kvadrat v najvišji vrstici poliomine. Podobno je definiran spodnji-levi kvadrat. Potem se lahko zgornji-desni kvadrat poljubne poliomine velikosti n zveže s spodnjim-levim kvadratom poljubne poliomine velikosti m, s čimer se dobi edina (n+m)-omina. To dokazuje ${\displaystyle a_{n}a_{m}\leq a_{n+m}\,}$. S pomočje te enačbe se lahko pokaže, da velja ${\displaystyle \lambda \geq (a_{n})^{1/n}\,}$ za vse n. Ta prečiščen postopek skupaj s podatki za ${\displaystyle a_{n}\,}$ da zgornjo spodnjo mejo.

Zgornja meja se dobi s posplošitvijo induktivne metode za štetje poliomin. Namesto, da se dodaja po en kvadrat na enkrat, se dodaja skupino kvadratov. To pogosto opišejo kot »dodajanje rogovil«. Z dokazom, da je vsaka n-omina zaporedje rogovil, in limitami kombinacij možnih rogovil, se dobi zgornja meja števila n-omin. V zgornjih nakazanih algoritmih je treba na primer v vsakem koraku izbrati večje število, doda pa se največ tri nova števila, ker so največ trije neoštevilčeni kvadrati sosednji poljubnemu oštevilčenemu kvadratu. Na ta način se dobi zgornja meja 6,75. Z 2,8 milijonoma rogovilami sta Klarner in Rivest dobila vrednost za zgornjo mejo 4,65.

Približka za število negibnih in prostih poliomin sta povezana na preprost način. Prosta poliomina brez simetrij (zasuka ali zrcaljenja) odgovarja osmim negibnim poliominam, in za velike n je večina n-omin brez simetrij. Zaradi tega je število negibnih n-omin približno enako 8-kratnemu številu prostih n-omin. Ko se n veča, je ta približek eksponentno točnejši.^[10]

Za štetje posebnih razredov poliomin obstajajo točni obrazci, na primer za konveksne ali usmerjene poliomine.

Definicija konveksne poliomine se razlikuje od običajne definicije konveksnosti. Poliomina je stolpčno konveksna, če je presečišče z vsako navpično črto konveksno, oziroma, če noben stolpec ne vsebuje luknje. Podobno je poliomina vrstno konveksna, če je presečišče z vsako vodoravno črto konveksno. Poliomina je konveksna, če je stolpčno in vrstno konveksna..^[19]

Poliomina je usmerjena, če vsebuje kvadrat, imenovan koren, tako da se vsak drug kvadrat lahko doseže z gibanjem navzgor ali desno za en kvadrat, brez da bi se zapustilo poliomino.

Usmerjene, stolpčne (ali vrstično) konveksne in konveksne poliomine so učinkovito prešteli glede na površino n, ter glede na druge parametre, kot sta npr. obseg (polobseg) ali minimalni omejitveni pravokotnik, s pomočjo rodovnih funkcij.^{[20][21][22][23]}

Pri konveksnih poliominah je polobseg enak vsoti njihovih stolpcev in vrstic.^[24] Število konveksnih poliomin ${\displaystyle f_{n}\,}$ s polobsegom ${\displaystyle n+2\,}$ sta določila Delest in Viennot:^[25][24][26]

${\displaystyle f_{n+2}=(2n+11)4^{n}-4(2n+1){2n \choose n},\qquad (n\geq 0;\qquad f_{0}=1,\qquad f_{1}=2)\!\,.}$

Prve vrednosti za n ≥ 0 so (OEIS A005436):

1, 2, 7, 28, 120, 528, 2344, 10416, 46160, 203680, 894312, 3907056, ... .

Število usmerjenih konveksnih poliomin ${\displaystyle b_{n}\,}$ s polobsegom ${\displaystyle n+2\,}$ je enako n-temu središčnemu binomskemu koeficientu:^[24][26]

${\displaystyle b_{n+2}={2n \choose n}={\frac {(2n)!}{(n!)^{2}}}\!\,.}$

Prve vrednosti za n ≥ 0 so (OEIS A000984):

1, 2, 6, 20, 70, 252, 924, 3432, 12870, 48620, 184756, 705432, ... .

Youngovi diagrami (tudi Ferrersovi diagrami) so konveksne poliomine pri katerih so vrstice poravnane levo in dolžine vrstic šibko naraščajo (vsaka vrstica ima enako ali manjšo dolžino kot predhodnja).^[27] Število enostranskih Youngovih diagramov je enako številu particij pozitivnega celega števila. Prve vrednosti za n ≥ 0 so (OEIS A000041):

1, 1, 2, 3, 5, 7, 11, 15, 22, 30, 42, 56, ... .

Po dogovoru je p(0) = 1 in p(n) = 0 za negativne n.

Posebna podmnožica usmerjenih konveksnih poliomin so paralelogramske poliomine. Definirane so z dvema potema na mreži z enotskimi koraki gor (sever) (0,1) in korak desno (vzhod) (1,0), ki se sekata le v svojima izhodiščema in krajiščima. Število paralelogramskih poliomin ${\displaystyle c_{n}\,}$ s polobsegom ${\displaystyle n+1\,}$ je enako n-temu Catalanovemu številu:^[28][29][30]

${\displaystyle c_{n+1}={\frac {1}{n+1}}{2n \choose n}={\frac {(2n)!}{n!\;(n+1)!}}\!\,.}$

Prve vrednosti za n ≥ 0 so (OEIS A000108):

1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, ... .

Poliomina je enakolična, če je njena površina enaka njenemu obsegu. Enakolično poliomino mora sestavljati sodo število kvadratov. Možno je vsako sodo število večje od 15. 16-omina v obliki kvadrata 4 × 4 in 18-omina v obliki pravokotnika 3 × 6 sta na primer obe enakolični. Za poliomine z manj kot 15-imi kvadrati je obseg vedno večji od površine.^[31]

Poliomine so pospešile raziskave v računalništvu in razvedrilni matematiki. Problemi se velikokrat nanašajo na pokritje (tlakovanje) določenega območja ali celotne ravnine s poliominami ali pregibanje poliomin za tvorjenje drugih oblik.^[32] Gardner je predlagal več preprostih iger z množico prostih pentomin in šahovnico. Nekatere različice sestavljanke sudoku imajo območja v obliki poliomin na mreži. Računalniška igra Tetris temelji na sedmih enostranskih tetrominah. V igri so imenovane »tetrimine«. Igra na deski Blokus uporablja vseh 21 prostih poliomin vse do pentomin.

V sestavljankah je običajno treba pokriti dano območje z dano množico poliomin, kot na primer 12 prostih pentomin. Golombova in Gardnerjeva knjiga imata veliko zgledov. Tipična sestavljanka je pokritje pravokotnika 6 × 10 z 12-imi prostimi pentominami. Vseh 2339 rešitev sta leta 1960 prva našla. Colin in Jenifer Haselgrove.^[33]

Če so dovoljene mnogokratne kopije poliomin v množici, je Golomb definiral hierarhijo različnih območij, ki jih lahko množica pokrije, kot na primer pravokotniki, trakovi in celotna ravnina. Pokazal je, da je problem pokritja ravnine s poliominami iz dane množice neodločljiv s preslikavnimi množicami Wangovih tlakovcev v množice poliomin.^[34]

V drugem razredu problemov je vprašanje ali kopije dane poliomine pokrijejo pravokotnik, in če, katere pravokotnike lahko.^[35] Takšne probleme so še posebej obsežno raziskovali za določene poliomine.^[36] Na voljo so razpredelnice rezultatov za posamezne poliomine.^[37] Klarner in Göbel sta pokazala, da za vsako poliomino obstaja končna množica takšnih prvotnih pravokotnikov, ki jih pokrije, da se lahko vsi drugi pravokotniki, ki jih pokrije, pokrijejo s temi prvotnimi pravokotniki.^[38][39]

Poleg pravokotnikov je Golomb podal svojo hierarhijo za posamezne poliomine: poliomina lahko pokrije pravokotnik, poltrak, ukrivljeni trak, povečano lastno kopijo, kvadrant, trak, polravnino, celotno ravnino, določene kombinacije ali nič od tega. Med njimi sta določeni posledici, obe očitni. Če na primer poliomina pokrije polravnino, pokrije tudi celotno ravnino. In, če poliomina pokrije povečano lastno kopijo, potem pokrije kvadrant. Poliomine do reda vse do 6 so karakterizirane v tej hierarhiji s statusom ene heksamine, za katero se je kasneje izkazalo, da pokrije pravokotnik, kar je bilo do tedaj nerešeno.^[40]

Leta 2001 sta Cristopher Moore in John Michael Robson pokazala, da je problem pokritja ene poliomine s kopijami druge NP-poln.^[41][42]

Veliko so obravnavali tudi pokritje ravnine s kopijami ene poliomine. Leta 1965 so oznanili, da vse poliomine do heksomin in vse razen štirih heptomin pokrijejo ravnino.^[43][44] Nato je David Bird ugotovil, da vse razen 26 oktomin pokrijejo ravnino.^[45] Rawsthorne je odkril, da vse nonomine razen 235-ih pokrijejo ravnino.^[46] Takšne rezultate so razširili na višje rede Rhoads (do reda 14) in drugi.^[47] Poliomine, ki pokrivajo ravnino, so klasificirali po simetrijah njihovih pokritij in po številu aspektov (orientacij) v katerih se tlakovci pojavljajo v njih.^[48][49]

Raziskovanje katere poliomine lahko pokrijejo ravnino je olajšala raba Conwayjevega kriterija. Razen dveh nonomin vse pokrivajoče poliomine do reda 9 tvorijo zaplato, za katero velja vsaj en tlakovec, pri čemer so izjeme pri višjih redovih pogostejše.^[50]

Več poliomin lahko pokrije več lastnih kopij in ponavljanje tega procesa rekurzivno da pokritje ravnine z delilnimi ploščicami (rep-tile). Za vsako pozitivno celo število n se na primer lahko skombinira n² kopij L-tromine, L-tetromine ali P-pentomine v en večji lik podoben manjši poliomini iz katere je bil oblikovan.^[51]

Problem združljivosti išče lik, ki ga lahko pokrijeta dve ali več poliomin. Poliominsko združljivost so veliko raziskovali od 1990-ih. Jorge Luis Mireles in Giovanni Resta sta objavila spletni strani s sistematičnimi rezultati.^[52][53] Livio Zucca prikazuje rezultate za nekatere zapletene primere, kot so na primer tri različne pentomine.^[54] Splošni problem je lahko težek. Prvi združljivostni lik za pentomini L in X je bil objavljen leta 2005 in ima 80 poliomin obeh vrst.^[55] Za veliko parov poliomin so pokazali nezdružljivost s sistematičnim izčrpavanjem. Ni znan noben algoritem za odločanje ali so poljubne poliomine združljive.

Od poliomin lahko edino heksomine predstavljajo mrežo telesa in sicer kocke. Od 35 prostih heksomin jih lahko 11 predstavlja mrežo kocke.

• teorija perkolacije
• Youngov diagram
• Blokus
• kvadratni graf
• permutomina

Wikimedijina zbirka ponuja več predstavnostnega gradiva o temi: Poliomina.

• Weisstein, Eric Wolfgang. »Polyomino«. MathWorld.
• Aplikacija za interaktivno pokrivanje s poliominami (angleško)
• Pokrivanje končnega pravokotnika Karla Dahlkeja (angleško)
• Uporaba in opis Jensenove metode (angleško)
• Članek z opisi sodobnih ocen (PS) (angleško)
• MathPages – opombe na štetje poliomin z različnimi simetrijami (angleško)
• Seznam razčlenitvenih problemov v Fairy Chess Review (angleško)
• Schere, Karl, Tetrads Wolfram Demonstrations Project (angleško)