Διάμεσος (γεωμετρία)

Διάμεσος ${\displaystyle \mathrm {AM} }$ του τριγώνου ${\displaystyle \mathrm {AB\Gamma } }$ που αντιστοιχεί στην κορυφή ${\displaystyle \mathrm {A} }$ (και ${\displaystyle \mathrm {M} }$ το μέσο της ${\displaystyle \mathrm {B\Gamma } }$).

Οι διάμεσοι ενός τριγώνου διέρχονται από το ίδιο σημείο, το κέντρο βάρους του.

Στη γεωμετρία, η διάμεσος ενός τριγώνου είναι το ευθύγραμμο τμήμα το οποίο ενώνει μία κορυφή του τριγώνου με το μέσο της απέναντι πλευράς. Κάθε τρίγωνο έχει ακριβώς τρεις διάμεσους: μία από κάθε κορυφή προς την αντίθετη πλευρά. Συνήθως οι διάμεσοι συμβολίζονται ως ${\displaystyle \mu _{\rm {A}},\mu _{\rm {B}},\mu _{\rm {\Gamma }}}$ ή ${\displaystyle \mu _{\alpha },\mu _{\beta },\mu _{\gamma }}$ αντίστοιχα.

Στην περίπτωση των ισοσκελών και ισόπλευρων τριγώνων, η διάμεσος είναι και διχοτόμος και ύψος μίας κορυφής, της οποίας οι δύο προσκείμενες πλευρές της είναι ίσες.

Απόδειξη

Χρησιμοποιώντας τον νόμο των συνημιτόνων στο τρίγωνο ${\displaystyle {\rm {AMB}}}$ έχουμε ότι ${\displaystyle {\rm {AB^{2}=AM^{2}+MB^{2}-2\cdot AM\cdot MB}}\cdot \cos \varphi }$. (1) Χρησιμοποιώντας τον νόμο των συνημιτόνων στο τρίγωνο ${\displaystyle {\rm {AM\Gamma }}}$ έχουμε ότι ${\displaystyle {\rm {A\Gamma ^{2}=AM^{2}+M\Gamma ^{2}-2\cdot AM\cdot M\Gamma }}\cdot \cos(180^{\circ }-\varphi )}$ ${\displaystyle {\phantom {\rm {A\Gamma ^{2}}}}={\rm {AM^{2}+MB^{2}+2\cdot AM\cdot MB}}\cdot \cos \varphi }$, (2) καθώς ${\displaystyle {\rm {MB=M\Gamma }}}$, αφού ${\displaystyle {\rm {M}}}$ το μέσο του ${\displaystyle {\rm {B\Gamma }}}$. Προσθέτοντας τις εξισώσεις (1) και (2), λαμβάνουμε ότι ${\displaystyle \mathrm {AB} ^{2}+\mathrm {A\Gamma } ^{2}=2\cdot \mathrm {AM} ^{2}+2\mathrm {MB} ^{2}.}$ Χρησιμοποιώντας ότι ${\displaystyle {\rm {MB=M\Gamma ={\tfrac {1}{2}}B\Gamma }}}$ λαμβάνουμε την ζητούμενη σχέση. ${\displaystyle \square }$

Απόδειξη

Αντίστοιχα με την απόδειξη του 1ου θεωρήματος των διαμέσων, έχουμε ότι ${\displaystyle {\rm {AB^{2}=AM^{2}+MB^{2}-2\cdot AM\cdot MB\cdot \cos \varphi }}}$, και ${\displaystyle {\rm {A\Gamma ^{2}=AM^{2}+MB^{2}+2\cdot AM\cdot MB\cdot \cos \varphi }}}$. Παίρνοντας την διαφορά για των δύο παραπάνω σχέσεων, έχουμε ότι ${\displaystyle {\rm {A\Gamma ^{2}-AB^{2}=4\cdot AM\cdot MB\cdot \cos \varphi =2\cdot B\Gamma \cdot MH}}}$, ολοκληρώνοντας την απόδειξη. ${\displaystyle \square }$

• Η διάμεσος χωρίζει το τρίγωνο σε δύο τρίγωνα με ίσο εμβαδόν.

• Για τις διαμέσους ${\displaystyle \mu _{\rm {A}},\mu _{\rm {B}},\mu _{\rm {\Gamma }}}$ ενός τριγώνου, ισχύουν οι εξής τριγωνομετρικές σχέσεις^{[4]:261-262[5]:71[6]:127}

${\displaystyle \mu _{\alpha }^{2}=\alpha ^{2}\cdot {\frac {2\sin ^{2}{\rm {B}}+2\sin ^{2}{\rm {\Gamma }}-\sin ^{2}{\rm {A}}}{4\cdot \sin ^{2}{\rm {A}}}}}$, ${\displaystyle \quad \mu _{\beta }^{2}=\alpha ^{2}\cdot {\frac {2\sin ^{2}{\rm {\Gamma }}+2\sin ^{2}{\rm {A}}-\sin ^{2}{\rm {B}}}{4\cdot \sin ^{2}{\rm {A}}}}}$ και ${\displaystyle \quad \mu _{\gamma }^{2}=\alpha ^{2}\cdot {\frac {2\sin ^{2}{\rm {A}}+2\sin ^{2}{\rm {B}}-\sin ^{2}{\rm {\Gamma }}}{4\cdot \sin ^{2}{\rm {A}}}}}$.

• Σε κάθε τρίγωνο ${\displaystyle \mathrm {AB\Gamma } }$,^[7][5]: 42

${\displaystyle \mu _{\rm {A}}^{2}+\mu _{\rm {B}}^{2}+\mu _{\rm {\Gamma }}^{2}={\tfrac {3}{4}}(\alpha ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2})}$,

και

${\displaystyle \mu _{\rm {A}}^{4}+\mu _{\rm {B}}^{4}+\mu _{\rm {\Gamma }}^{4}={\tfrac {9}{16}}\cdot (\alpha ^{4}+\beta ^{4}+\gamma ^{4})}$.

• Σε κάθε τρίγωνο ${\displaystyle \mathrm {AB\Gamma } }$,^[7]

${\displaystyle {\tfrac {3}{4}}\cdot (\alpha +\beta +\gamma )<\mu _{\rm {A}}+\mu _{\rm {B}}+\mu _{\rm {\Gamma }}<{\tfrac {3}{2}}\cdot (\alpha +\beta +\gamma )}$.

• Αν ${\displaystyle \mathrm {AB} >\mathrm {A\Gamma } >\mathrm {B\Gamma } }$, τότε

${\displaystyle \mu _{\rm {\Gamma }}<\mu _{\rm {B}}<\mu _{\rm {A}}}$.

• Αν ${\displaystyle \mathrm {AB} >\mathrm {A\Gamma } }$, τότε

${\displaystyle {\tfrac {\mathrm {AB} -\mathrm {A\Gamma } }{2}}<\mu _{\rm {A}}<{\tfrac {\mathrm {AB} +\mathrm {A\Gamma } }{2}}}$.

• Αν ${\displaystyle {\hat {\mathrm {A} }}}$ οξεία γωνία, τότε

${\displaystyle \mathrm {AM} >{\tfrac {\mathrm {B\Gamma } }{2}}}$.

Η διάμεσος κατασκευάζεται με τον ίδιο τρόπου που βρίσκουμε το μέσο ενός ευθύγραμμου τμήματος (δηλαδή κατασκευάζοντας την μεσοκάθετο):

1. Με τον διαβήτη χαράζουμε δύο κύκλους με κέντρα τα ${\displaystyle \mathrm {B} }$ και ${\displaystyle \mathrm {\Gamma } }$ και ακτίνα ${\displaystyle \mathrm {B\Gamma } }$.
2. Βρίσκουμε τα σημεία τομής ${\displaystyle \mathrm {T} _{1}}$ και ${\displaystyle \mathrm {T} _{2}}$ των δύο κύκλων.
3. Χαράζουμε το ευθύγραμμο τμήμα ${\displaystyle \mathrm {T} _{1}\mathrm {T} _{2}}$.
4. Βρίσκουμε το σημείο τομής ${\displaystyle \mathrm {M} }$ του ${\displaystyle \mathrm {T} _{1}\mathrm {T} _{2}}$ με το ${\displaystyle \mathrm {B\Gamma } }$.
5. Ενώνουμε τα σημεία ${\displaystyle \mathrm {A} }$ και ${\displaystyle \mathrm {M} }$.

• Νόμος των συνημιτόνων
• Θεώρημα Στιούαρτ
• Διχοτόμος γωνίας
• Ύψος τριγώνου

• Διάμεσοι ενός τριγώνου στο Φωτόδεντρο.
• Διάμεσοι τριγώνου στο Geogebra.
• Διάμεσοι στο cut-the-knot
• Κατασκευή μίας διαμέσου με κανόνα και διαβήτη