Σημείο Gergonne

Τα ορθογώνια τρίγωνα ${\displaystyle \mathrm {I\Gamma I_{B}} }$ και ${\displaystyle \mathrm {I\Gamma I_{A}} }$ είναι ίσα καθώς η ${\displaystyle \mathrm {\Gamma I} }$ είναι κοινή και ${\displaystyle {\widehat {\rm {\Gamma I~I_{A}}}}={\widehat {\rm {\Gamma I~I_{B}}}}={\tfrac {\hat {\mathrm {\Gamma } }}{2}}}$ (καθώς ${\displaystyle \mathrm {\Gamma I} }$ είναι διχοτόμος). Επομένως, ${\displaystyle \mathrm {\Gamma I_{A}} =\mathrm {\Gamma I_{B}} }$.

Αντίστοιχα, έχουμε ότι ${\displaystyle \mathrm {AI_{B}} =\mathrm {AI_{\Gamma }} }$ και ${\displaystyle \mathrm {BI_{A}} =\mathrm {BI_{\Gamma }} }$.

Συνεπώς,

${\displaystyle {\frac {\mathrm {BI_{A}} }{\mathrm {\Gamma I_{A}} }}\cdot {\frac {\mathrm {\Gamma I_{B}} }{\mathrm {AI_{B}} }}\cdot {\frac {\mathrm {AI_{\Gamma }} }{\mathrm {BI_{\Gamma }} }}=1}$,

και από το αντίστροφο του θεωρήματος του Τσέβα έχουμε ότι τα ${\displaystyle \mathrm {I_{A}I} }$, ${\displaystyle \mathrm {I_{B}I} }$, ${\displaystyle \mathrm {I_{\Gamma }I} }$ συντρέχουν.