Ισοσκελές τρίγωνο

Ισοσκελές τρίγωνο με ${\displaystyle \mathrm {AB} =\mathrm {A\Gamma } }$ και ${\displaystyle {\hat {\mathrm {B} }}={\hat {\mathrm {\Gamma } }}}$.

Η διάμεσος, το ύψος και η διχοτόμος της ${\displaystyle {\hat {\mathrm {A} }}}$ ταυτίζονται.

Στην γεωμετρία, ένα ισοσκελές τρίγωνο είναι ένα τρίγωνο του οποίου δύο πλευρές (και δύο γωνίες) είναι ίσες μεταξύ τους. Για παράδειγμα, στο σχήμα το τρίγωνο ${\displaystyle \mathrm {AB\Gamma } }$ έχει ${\displaystyle \mathrm {AB} =\mathrm {A\Gamma } }$ και επομένως είναι ισοσκελές. Χαρακτηριστική ιδιότητα των ισοσκελών τριγώνων είναι ότι η διάμεσος, το ύψος και η διχοτόμος της κορυφής ${\displaystyle \mathrm {A} }$ ταυτίζονται.

Ειδική περίπτωση ισοσκελούς τριγώνου είναι το ισόπλευρο τρίγωνο που έχει όλες τις πλευρές ίσες και όλες τις γωνίες ίσες.

Στα ισοσκελή τρίγωνα ισχύουν οι παρακάτω ιδιότητες:^[1][2][3][4]

• Ένα τρίγωνο είναι ισοσκελές ανν οι προσκείμενες στη βάση γωνίες του είναι ίσες.

Απόδειξη

(${\displaystyle \Rightarrow }$) Έστω ισοσκελές τρίγωνο ${\displaystyle \mathrm {AB\Gamma } }$ με ${\displaystyle \mathrm {AB} =\mathrm {A\Gamma } }$ και ${\displaystyle \mathrm {A\Delta } }$ η διχοτόμος της γωνίας ${\displaystyle {\hat {\mathrm {A} }}}$. Τα τρίγωνα ${\displaystyle \mathrm {AB\Delta } }$ και ${\displaystyle \mathrm {A\Gamma \Delta } }$ έχουν ${\displaystyle \mathrm {AB} =\mathrm {A\Gamma } }$, την πλευρά ${\displaystyle \mathrm {A\Delta } }$ κοινή και τις γωνίες ${\displaystyle {\widehat {\mathrm {BA\Delta } }}}$ και ${\displaystyle {\widehat {\mathrm {\Gamma A\Delta } }}}$ ίσες. Σύμφωνα με το κριτήριο πλευράς-γωνίας-πλευράς, τα δύο τρίγωνα είναι ίσα και επομένως θα είναι ${\displaystyle {\hat {\mathrm {B} }}={\hat {\mathrm {\Gamma } }}}$ (ισότητα γωνιών). (${\displaystyle \Leftarrow }$) Έστω το τρίγωνο ${\displaystyle \mathrm {AB\Gamma } }$ με ${\displaystyle {\hat {\mathrm {B} }}={\hat {\mathrm {\Gamma } }}}$ και ${\displaystyle \mathrm {AH} }$ το ύψος του τριγώνου από την κορυφή ${\displaystyle \mathrm {A} }$. Τα ορθογώνια τρίγωνα ${\displaystyle \mathrm {AHB} }$ και ${\displaystyle \mathrm {AH\Gamma } }$ έχουν δύο οξείες γωνίες ίσες και μία αντίστοιχη πλευρά ίση. Σύμφωνα με το κριτήριο ισότητας ορθογωνίων τριγώνων, τα τρίγωνα είναι ίσα και επομένως είναι ${\displaystyle \mathrm {AB} =\mathrm {A\Gamma } }$ δηλαδή το τρίγωνο ${\displaystyle \mathrm {AB\Gamma } }$ είναι ισοσκελές.

• Σε ένα ισοσκελές τρίγωνο ${\displaystyle \mathrm {AB\Gamma } }$ με ${\displaystyle \mathrm {AB} =\mathrm {A\Gamma } }$ η διάμεσος ${\displaystyle \mu _{\alpha }}$, η διχοτόμος ${\displaystyle \delta _{\alpha }}$ και το ύψος του ${\displaystyle \upsilon _{\alpha }}$ ταυτίζονται.

Απόδειξη

Έστω ισοσκελές τρίγωνο ${\displaystyle \mathrm {AB\Gamma } }$ με ${\displaystyle \mathrm {AB} =\mathrm {A\Gamma } }$. Το ύψος ${\displaystyle \mathrm {A\Delta } }$ είναι και μεσοκάθετος του τμήματος ${\displaystyle \mathrm {B\Gamma } }$, διότι το σημείο ${\displaystyle \mathrm {A} }$ ισαπέχει από τα άκρα ${\displaystyle \mathrm {B} }$ και ${\displaystyle \mathrm {\Gamma } }$. Εφ' όσον είναι μεσοκάθετος είναι και διάμεσος διότι ${\displaystyle \mathrm {B\Delta } =\mathrm {\Delta \Gamma } }$. Επί πλέον ως μεσοκάθετος είναι και άξονας συμμετρίας του τριγώνου ${\displaystyle \mathrm {AB\Gamma } }$ δηλαδή οι γωνίες ${\displaystyle {\widehat {\rm {BA\Delta }}}}$ και ${\displaystyle {\widehat {\rm {\Gamma A\Delta }}}}$ είναι ίσες και συνεπώς η ${\displaystyle \mathrm {A\Delta } }$ είναι και διχοτόμος της γωνίας ${\displaystyle {\hat {\mathrm {A} }}}$.

• Σε ένα ισοσκελές τρίγωνο η ευθεία του Όιλερ του τριγώνου, εκτός του περίκεντρου, ορθόκεντρου και βαρυκέντρου περιλαμβάνει και το έγκεντρο του τριγώνου.

• Ένα τρίγωνο είναι ισοσκελές ανν μία διχοτόμος του είναι και ύψος.

• Ένα τρίγωνο είναι ισοσκελές ανν μία διχοτόμος του είναι και διάμεσος.

• Ένα τρίγωνο είναι ισοσκελές ανν μία διάμεσός του είναι και ύψος.

• Ένα τρίγωνο είναι ισοσκελές ανν δύο ύψη είναι ίσα.

• Ένα τρίγωνο είναι ισοσκελές ανν δύο διάμεσοι είναι ίσες.

• (Θεώρημα Steiner–Lehmus) Ένα τρίγωνο είναι ισοσκελές ανν δύο διχοτόμοι είναι ίσες.

Σε ένα ισοσκελές τρίγωνο ${\displaystyle {\rm {AB\Gamma }}}$ με ${\displaystyle \mathrm {AB} =\mathrm {A\Gamma } =\mathrm {\beta } }$ και ${\displaystyle \mathrm {B\Gamma } =\mathrm {\alpha } }$, ισχύουν οι εξής μετρικές σχέσεις:

• Το ύψος που αντιστοιχεί στην κορυφή ${\displaystyle \mathrm {A} }$ δίνεται από

${\displaystyle \upsilon _{\alpha }={\sqrt {\beta ^{2}-\left({\tfrac {\alpha }{2}}\right)^{2}}}}$,

Απόδειξη

Έστω ισοσκελές τρίγωνο ${\displaystyle \mathrm {AB\Gamma } }$ με ${\displaystyle \mathrm {AB} =\mathrm {A\Gamma } }$ και ${\displaystyle \mathrm {AH} }$ το ύψος που αντιστοιχεί στην κορυφή ${\displaystyle \mathrm {A} }$. Σύμφωνα με τις ιδιότητες του ισοσκελούς τριγώνου το ύψος ${\displaystyle \mathrm {AH} }$ είναι και διάμεσος, άρα ${\displaystyle \mathrm {BH} =\mathrm {\Gamma H} ={\tfrac {\alpha }{2}}}$. Επομένως στο ορθογώνιο τρίγωνο ${\displaystyle \mathrm {ABH} }$ από το Πυθαγόρειο θεώρημα έχουμε ότι ${\displaystyle \mathrm {\upsilon } _{\alpha }^{2}=\mathrm {AB} ^{2}-\mathrm {HB} ^{2}\Rightarrow \upsilon _{a}={\sqrt {\beta ^{2}-\left({\tfrac {\alpha }{2}}\right)^{2}}}}$.

• Το εμβαδόν του τριγώνου δίνεται από τον τύπο

${\displaystyle \mathrm {E} ={\tfrac {\alpha }{2}}\cdot \upsilon _{\alpha }={\tfrac {\alpha }{2}}\cdot {\sqrt {\beta ^{2}-\left({\tfrac {\alpha }{2}}\right)^{2}}}}$ και ${\displaystyle \mathrm {E} ={\tfrac {1}{2}}\cdot \alpha ^{2}\cdot \sin \varphi }$,

όπου ${\displaystyle \varphi }$ η γωνία προσκείμενη στη βάση ${\displaystyle \alpha }$.

• Η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου δίνεται από τον τύπο

${\displaystyle R={\frac {\beta ^{2}}{2{\sqrt {\beta ^{2}-\left({\tfrac {\alpha }{2}}\right)^{2}}}}}}$.

Απόδειξη

Από τον νόμο των ημιτόνων έχουμε ότι ${\displaystyle R={\frac {\beta }{2\sin {\hat {\mathrm {B} }}}}.}$ Έστω ${\displaystyle {\rm {AH}}}$ το ύψος του τριγώνου. Από το ορθογώνιο τρίγωνο ${\displaystyle {\rm {AHB}}}$, έχουμε ότι ${\displaystyle \sin {\hat {\mathrm {B} }}={\frac {\sqrt {\beta ^{2}-\left({\tfrac {\alpha }{2}}\right)^{2}}}{2\beta }}.}$ Συνδυάζοντας τις παραπάνω δύο σχέσεις λαμβάνουμε το ζητούμενο.

• Η πλευρά του εγγεγραμμένου τετραγώνου με μία πλευρά πάνω στην βάση του τριγώνου είναι

${\displaystyle S={\frac {\alpha \cdot \upsilon _{\alpha }}{\alpha +\upsilon _{\alpha }}}}$.

• (Θεώρημα Βιβιάνι για ισοσκελή τρίγωνα) Έστω ένα ισοσκελές τρίγωνο ${\displaystyle \mathrm {AB\Gamma } }$ με ${\displaystyle \mathrm {AB} =\mathrm {A\Gamma } }$ και ένα σημείο ${\displaystyle \mathrm {P} }$ της ${\displaystyle \mathrm {B\Gamma } }$. Αν ${\displaystyle d_{1}}$ και ${\displaystyle d_{2}}$ είναι οι αποστάσεις του ${\displaystyle \mathrm {P} }$ από τις ${\displaystyle \mathrm {AB} }$ και ${\displaystyle \mathrm {A\Gamma } }$, και ${\displaystyle \upsilon }$ το ύψος που αντιστοιχεί στην κορυφή ${\displaystyle \mathrm {A} }$, τότε^[1]: 64-65

${\displaystyle d_{1}+d_{2}=\upsilon }$.

Το ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο έχει τις εξής ιδιότητες:

• Οι προσκείμενες στην υποτείνουσα γωνίες είναι 45°.
• Αν ${\displaystyle x}$ το μήκος των δύο κάθετων πλευρών τότε η υποτείνουσα έχει μήκος ${\displaystyle x{\sqrt {2}}}$ .
• Το εμβαδόν του είναι ${\displaystyle \mathrm {E} ={\tfrac {1}{2}}x^{2}}$.
• Προκύπτει ως το μισό ενός τετραγώνου (το ${\displaystyle \mathrm {AB\Delta \Gamma } }$ στο σχήμα).

Το ισόπλευρο τρίγωνο έχει τις εξής ιδιότητες:

• Όλες οι πλευρές του είναι ίσες.
• Όλες οι γωνίες είναι ${\displaystyle 60^{\circ }}$.
• Το εμβαδόν του τριγώνου είναι ${\displaystyle \mathrm {E} ={\tfrac {x{\sqrt {3}}}{4}}}$, όπου ${\displaystyle x}$ το μήκος των πλευρών.

To ισοσκελές τρίγωνο ${\displaystyle \mathrm {AB\Gamma } }$ με γωνίες ${\displaystyle {\hat {\mathrm {A} }}=120^{\circ }}$ και ${\displaystyle {\hat {\mathrm {B} }}={\hat {\mathrm {\Gamma } }}=30^{\circ }}$ έχει ενδιαφέρουσες ιδιότητες αρκετές από τις οποίες προκύπτουν από το γεγονός ότι μπορεί να χωριστεί σε τρία τρίγωνα εκ των οποίων το ένα είναι ισόπλευρο και τα άλλα δύο είναι ισοσκελή και όμοια με το αρχικό.

Το χρυσό τρίγωνο με γωνίες ${\displaystyle {\hat {\mathrm {A} }}=36^{\circ }}$ και ${\displaystyle {\hat {\mathrm {B} }}={\hat {\mathrm {\Gamma } }}=72^{\circ }}$.

Η ιδιότητα του τριγώνου να υποδιαιρείται σε δύο ισοσκελή τρίγωνα.

Το χρυσό τρίγωνο είναι το ισοσκελές τρίγωνο με πλευρές ${\displaystyle \varphi ,\varphi ^{2}}$ και ${\displaystyle \varphi ^{2}}$, όπου ${\displaystyle \varphi }$ η χρυσή τομή. Το τρίγωνο αυτό είναι το ένα δέκατο ενός δεκαγώνου. Έχει διάφορες ιδιότητες,^[5] όπως το ότι μπορεί να διαιρεθεί σε δύο ισοσκελή τρίγωνα όπως φαίνεται στο δεύτερο σχήμα.

Ισοσκελές τρίγωνο με ${\displaystyle {\hat {\mathrm {B} }}={\hat {\mathrm {\Gamma } }}=80^{\circ }}$.

Η ιδιότητα του τριγώνου να υποδιαιρείται σε τέσσερα ισοσκελή τρίγωνα.

Το ισοσκελές τρίγωνο ${\displaystyle \mathrm {AB\Gamma } }$ με γωνίες ${\displaystyle {\hat {\mathrm {A} }}=20^{\circ }}$ και ${\displaystyle {\hat {\mathrm {B} }}={\hat {\mathrm {\Gamma } }}=80^{\circ }}$ έχει αρκετές ενδιαφέρουσες ιδιότητες.^[6][7][8] Μία από αυτές είναι η ιδιότητα ότι υποδιαιρείται σε τέσσερα ισοσκελή τρίγωνα με πλευρά ίση με την βάση του.^[9] H Roza Leikin δίνει ισοσκελή τρίγωνα στα οποία ισχύουν γενικεύσεις των ιδιοτήτων αυτών των τριγώνων.^[10]

Οι μετρικές σχέσεις μίας χορδής ${\displaystyle \mathrm {AB} }$ (για παράδειγμα η απόστασή της από το κέντρο του κύκλου) προκύπτουν θεωρώντας το ισοσκελές τρίγωνο ${\displaystyle \mathrm {OAB} }$, όπου ${\displaystyle \mathrm {OA} =\mathrm {OB} }$ ως ακτίνες του κύκλου.

Ένα οξυγώνιο τρίγωνο ${\displaystyle \mathrm {AB\Gamma } }$ μπορεί να χωριστεί σε τρία ισοσκελή τρίγωνα, χρησιμοποιώντας το κέντρο ${\displaystyle \mathrm {O} }$ του περιγεγραμμένου του κύκλου.^[11]

Οι διάγωνιοι ενός ορθογωνίου το χωρίζουν σε τέσσερα ισοσκελή τρίγωνα.

Κάθε μία από τις διαγώνιους ενός ρόμβου τον χωρίζει σε δύο ίσα ισοσκελή τρίγωνα.

Οι διαγώνιοι ενός ορθογωνίου παραλληλογράμμου είναι ίσες και διχοτομούνται, επομένως δημιουργούν τέσσερα ισοσκελή τρίγωνα, τα ${\displaystyle \mathrm {ABO} ,\mathrm {B\Gamma O} ,\mathrm {\Gamma \Delta O} }$ και ${\displaystyle \mathrm {\Delta AO} }$.

Αντίστοιχα, σε έναν ρόμβο κάθε μία από τις διαγώνιους του τον χωρίζει σε δύο ίσα ισοσκελή τρίγωνα.

Πλακόστρωση tetrakis

Πλακόστρωση triakis

Ορισμένα ισοσκελή τρίγωνα χρησιμοποιούνται για να πλακοστρώσουν το επίπεδο, όπως η πλακόστρωση tetrakis που χρησιμοποιεί ορθογώνια και ισοσκελή τρίγωνα ή η πλακόστρωση triakis που χρησιμοποιεί τα ισοσκελή τρίγωνα με γωνίες 30-30-120.

Σημαία της Γουιάνας

Σημαία της Αγίας Λουκίας

Οι σημαίες κάποιων χωρών, καθώς και τα σήματα διαφόρων εταιρειών και οργανισμών έχουν ισοσκελή τρίγωνα για αισθητικούς λόγους.

Ισοσκελές τρίγωνο στην Παναγία των Παρισίων.

Οι γέφυρες ζευκτών τύπου Howe και Pratt.

Στην αρχιτεκτονική και την μηχανική το ισοσκελές τρίγωνο χρησιμοποιείται σε αρκετές κατασκευές. Για παράδειγμα, το σχήμα των στεγών, στις διατάξεις των δοκών στις γέφυρες και σε τμήματα εκκλησιών.

• Θεώρημα της γέφυρας των γαϊδουριών
• Ισόπλευρο τρίγωνο
• Ισοσκελές τραπέζιο

• Διαδραστική εφαρμογή για την κατασκευή ενός ισοσκελούς τριγώνου με δοσμένες πλευρές.
• Διαδραστική εφαρμογή για το ύψος, την διάμεσο και την διχοτόμο ενός ισοσκελούς τριγώνου.
• Διαδραστική εφαρμογή για το ισοσκελές τρίγωνο.

• Λ. Θεοδώρου (1983). «Από την αξονική συμμετρία στις ιδιότητες του ισοσκελούς τριγώνου». Ευκλείδης Α΄ (3): 15-17. http://www.hms.gr/apothema/?s=sa&i=1521. 

Τα Wikimedia Commons έχουν πολυμέσα σχετικά με το θέμα    Ισοσκελές τρίγωνο